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 Gewöhnliche lineare DGL |
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Mathix
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 16.03.2015
Mitteilungen: 166
 |  Themenstart: 2015-12-22
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Hallo,
in meinem Mechanikbuch steht:
Von der DGL: y^(4)-\lambda^4*y=0 kann die allgemeine Lösung geschrieben werden als:
y_h=c_1 sinh(\lambda x)+c_2 cosh(\lambda x)+c_3 sin(\lambda x)+c_4 cos(\lambda x)
Ich komme auf:
y_h=a_1*exp(\lambda x)+a_2*exp(-\lambda x)+a_3*exp(i \lambda x)+a_4*exp(-i \lambda x)
Wie ich auf den Sinus- und Cosinusterm komme weiß ich, aber bei Sinus- und Cosinushyperbolicustermen komme ich mit den Konstanten nicht klar.
sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2; cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2;
Wenn ich jetzt bei meiner Lösung aufteile:
a_1*(exp(\lambda x)/2+exp(\lambda x)/2)+a_2*(exp(-\lambda x)/2+exp(-\lambda x)/2)
dann lässt sich das nicht so umformen, dass ich auf die hyperbolischen Ausdrücke komme.
Bitte um Hilfe, was mache ich flasch?
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rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11650
Wohnort: Wien
| Beitrag No.1, eingetragen 2015-12-22
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Hallo Mathix,
Du kannst exp(\lambda x)=cosh(\lambda x)+sinh(\lambda x) und exp(-\lambda x)=cosh(\lambda x)-sinh(\lambda x) in Deine Form der homogenen Lösung einsetzen.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Lineare DGL höherer Ordnung' von rlk]
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Mathix
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 16.03.2015
Mitteilungen: 166
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-22
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Vielen Dank, kann ich also schreiben:
y_h=a_1*[cosh(\lambda x)+sinh(\lambda x)]+a_2*[cosh(\lambda x)-sinh(\lambda x)]+a_3*exp(i \lambda x)+a_4*exp(-i \lambda x)
dann herausheben der sinh- und cosh-Terme und "neue" Konstanten anschreiben?
Also:
y_h=d_1*cosh(\lambda x)+d_2*sinh(\lambda x)+d_3*exp(i \lambda x)+d_4*exp(-i \lambda x)
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2015-12-22
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Hallo Mathix
Du hast implizit andere Konstanten benutzt, statt ai, i=1,2,3,4 einfach z.B. ui in der zugeh. homogenen Lösung, was auch gleichzeitig die allg. Lösung hinschreiben.
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rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11650
Wohnort: Wien
| Beitrag No.4, eingetragen 2015-12-22
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Hallo Mathix,
ja, Du kannst sogar den Zusammenhang zwischen den Konstanten a_1\., a_2 und d_1\., d_2 angeben. Mit einer sehr ähnlichen Rechnung kannst Du zwischen Linearkombinationen von exp(-\ii\lambda x), exp(\ii\lambda x) und von cos(\lambda x), sin(\lambda x) umrechnen.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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2023-09-30 16:09 U <
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