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  Potentialberechnung |
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smartino
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 18.03.2014
Mitteilungen: 193
 |  Themenstart: 2016-01-11
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Hallo zusammen!
Ich soll folgende Rechnung mit zwischenschritten nachrechnen:
sum(,i\mue,,) int(,,,)(\Psi _i (vec(r)) )^t U(vec(r)-vec(R_\mue))(\Psi _i (vec(r)) ) d^3r = \Omega sum(,G,)S(vec(G))U(vec(G))\rho(vec(G))
S(vec(G))=sum(,\mue,)exp(-i vec(G) vec(R_\mue))/N
ist der Strukturfaktor und \rho(vec(G))= sum(,\mue,)exp(-i vec(G) vec(R_\mue)). G ist ein reziproker Gittervektor und R_\mue ist ein Gittervektor.Ich versuche nun das nachzurechnen mit Hilfe einer koordiantentransformation und fouriertrafo in den reziproken raum: vec(r) -vec(R_\mue)=vec(G)
int(,,,)(\Psi _i (vec(G)) )^t exp(-i(vec(k_i)+vec(G))(vec(G)+ vec(R_\mue))) U(vec(G))(\Psi _i (vec(G)) ) exp(i (vec(k_i)+vec(G))(vec(G´)+ vec(R_\mue)))
Mulipliziere ich das aus erhalte ich folgendes:
int(,^3 x,,)(\Psi_i(vec(G)))^t exp(i(vec(G)-vec(G´)) vec(G))
exp(-i vec(G) vec(R_\mue)) U(vec(G)) exp(i vec(G´) vec(R_\mue))\Psi_i(vec(G))
Damit das richtige Ergebnis rauskommt muss der Term:
exp(i(vec(G)-vec(G´)) vec(G))=\delta_GG´
sein. Gibt es das? Und wenn ja warum??
Danke und lg
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Berufspenner
Senior 
Dabei seit: 13.11.2003
Mitteilungen: 3299
Wohnort: Hamburg, z.Zt. Hannover
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-01-12
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Moin
Kannst du noch ein wenig was zu dem Kontext sagen? Das wäre ganz hilfreich. Abgesehen davon störe ich mich etwas an dem hier:
$\vec{r}-\vec{R} = \vec{G}$
Das passt ja rein formal nicht. Soll $U(\vec{r}-\vec{R})$ eine Störfunktion des Realraums sein? Scheint sich wohl um inelastische Streuung zu handeln oder?
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smartino
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 18.03.2014
Mitteilungen: 193
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-01-13
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Hi Berufspenner!!
Danke schon mal für Deine Antwort. Du hast recht,
vec(r)-vec(R)=vec(G) ist der volle blödsinn.
Also U ist ein pseudopotential, Alle Grössen werden als ebene wellen angeschrieben:
\Psi(vec(r))=sum(,G´ i,) \Psi_i(vec(G´)) exp(i(vec(k_i + vec(G´))) vec(r))
(\Psi(vec(r)))^t=sum(,G i,) (\Psi_i(vec(G)))^t exp(-i(vec(k_i + vec(G))) vec(r))
Jetzt mache ich eine Koordinatentrafo r´=r-R und setze r=r´, d.h. für vec(r) in der e funktion kommt jetzt ein r+R.
sum(,i G G´,)(\Psi_i(vec(G)))^t exp(-i vec(Gr)) exp(-i vec(GR))U(r) exp(i vec(G´r)) exp(i vec(G´R))\Psi_i(vec(G´))
Nun weiss ich nicht wie ich auf die Schlussendliche Form kommen soll. Wenn G=G´ ist kommt denke ich das richtige heraus. Warum sollte das aber so sein? Ausserdem kenne ich nicht die Trafo von rellen raum in den reziproken für das Pseuodpotential.
Eine Rechnung darüber (das habe ich hier nicht gepostet) wird auch diese Koordiatenfrafo angewandt, allerdings handelt es sich dort um ein Bahndrehimpulsabhägiges Pseuodopotential. Dh da stand ein Projektionsoperator drin und die G und G´ bleiben erhalten. Das Pseudopotential in dieser Rechnung ist unabhängig vom Bahndrehimpuls. Hat das damit etwas zu tun?
Im strukturfaktor gehört im exponent übrigens ein +i!!!
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