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| Autor |
 Jacobi-Matrix |
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mathletic
Wenig Aktiv 
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 |  Themenstart: 2016-01-19
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Hallo,
wir haben
$V=\frac{v^2+w^2-1}{v^2+(w+1)^2}, W=\frac{-2v}{v^2+(w+1)^2}$
Ich will die Jacobi-Matrix der Abbildung $(V, W)\mapsto (v,w)$ berechnen.
Um das zu tun muss man $v$ und $w$ als Funktionen von $V$ ud $W$ schreiben, richtig?
Ich habe folgendes gefunden:
$V-1=\frac{-2(w+1)}{v^2+(w+1)^2} \Rightarrow (V-1)^2+W^2=\frac{4}{v^2+(w+1)^2}$
$\Rightarrow v^2+(w-1)^2=\frac{4}{(V-1)^2+W^2} \ \ \ \ (1) $
$W=\frac{-2v}{v^2+(w+1)^2} \Rightarrow v=\frac{-2W}{(V-1)^2+W^2}$
$(1) \Rightarrow \frac{4W^2}{((V-1)^2+W^2)^2}+(w+1)^2=\frac{4}{(V-1)^2+W^2} \Rightarrow \dots \\ \Rightarrow w=\frac{\pm 2(V-1)-(V-1)^2-W^2}{(V-1)^2+W^2}$
Ist alles richtig? Welchen von den 2 Werte für $w um die Jacobi-Matrix zu berechnen?
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weird
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-01-19
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\quoteon(2016-01-19 12:38 - mathletic im Themenstart)
Ist alles richtig? Welchen von den 2 Werte für $w um die Jacobi-Matrix zu berechnen?
\quoteoff
Ich hab keine Ahnung, was dich "umtreibt", wenn du meinst, die Gleichungen nach v und w auflösen zu müssen, was ja nicht einmal möglich ist, wie du ja selbst in deiner Rechnung gezeigt hast. :-o
Sofern das für eine Substitution (z.B. in einem Bereichsintegral) gedacht hast, solltest du natürlich die Funktionen V(v,w) und W(v,w) entsprechend nach v und w ableiten, es sei denn, es ist in der Aufgabenstellung ausdrücklich anders vermerkt.
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mathletic
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-01-19
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Ich will fogendes zeigen:
http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/9/38039_repar.PNG
Um das zu tun muss man nicht das was ich im Startbeitrag gesagt habe machen?
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weird
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| Beitrag No.3, eingetragen 2016-01-19
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\quoteon(2016-01-19 13:45 - mathletic in Beitrag No. 2)
Um das zu tun muss man nicht das was ich im Startbeitrag gesagt habe machen?
\quoteoff
Ich seh da überhaupt keinen Bezug zu deinem Startbeitrag. Ich würde $dV$ und $dW$ eigentlich deuten als
$dV=\frac{\partial V}{\partial v}dv+\frac{\partial V}{\partial w}dw,\quad dW=\frac{\partial W}{\partial v}dv+\frac{\partial W}{\partial w}dw,$
Vielleicht liege ich damit aber auch total daneben, da ich auf diesem Gebiet nicht wirklich sattelfest bin. Falls hier wirklich eine Jacobimatrix im Spiel sein sollte, dann jedenfalls nicht in der Richtung wie in deinem Startbeitrag!
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mathletic
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-01-19
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Es gilt folgendes:
$\begin{pmatrix}
\tilde{E} & \tilde{F}\\
\tilde{F} & \tilde{G}
\end{pmatrix}=J^t\begin{pmatrix}
E & F\\
F & G
\end{pmatrix}J$
Also ist die Jacobi-Matrix nicht die folgende?
$J=\begin{pmatrix}
\frac{\partial{v}}{\partial{V}} & \frac{\partial{v}}{\partial{W}} \\
\frac{\partial{w}}{\partial{V}} & \frac{\partial{w}}{\partial{W}}
\end{pmatrix}$
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
weird
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| Beitrag No.5, eingetragen 2016-01-21
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\quoteon(2016-01-19 15:28 - mathletic in Beitrag No. 4)
Es gilt folgendes:
$\begin{pmatrix}
\tilde{E} & \tilde{F}\\
\tilde{F} & \tilde{G}
\end{pmatrix}=J^t\begin{pmatrix}
E & F\\
F & G
\end{pmatrix}J$
Also ist die Jacobi-Matrix nicht die folgende?
$J=\begin{pmatrix}
\frac{\partial{v}}{\partial{V}} & \frac{\partial{v}}{\partial{W}} \\
\frac{\partial{w}}{\partial{V}} & \frac{\partial{w}}{\partial{W}}
\end{pmatrix}$
\quoteoff
Ich habe von Differenzialgeometrie Nullahnung und hätte hier auch nie etwas geschrieben, wenn du deinen Startbeitrag von Anfang an dort richtig zugeordnet hättest. Ich kann hier nur folgende - möglicherweise naive - Frage stellen: Wenn es stimmt, dass die Umrechnung von $\begin{pmatrix}
E & F\\
F & G
\end{pmatrix}$ auf $\begin{pmatrix}
\tilde{E} & \tilde{F}\\
\tilde{F} & \tilde{G}
\end{pmatrix}$ mit deiner Matrix
$J=\begin{pmatrix}
\frac{\partial{v}}{\partial{V}} & \frac{\partial{v}}{\partial{W}} \\
\frac{\partial{w}}{\partial{V}} & \frac{\partial{w}}{\partial{W}}
\end{pmatrix}$
erfolgt, müsste dann nicht eigentlich die Umrechnung in der anderen Richtung mit der Matrix
$\tilde J=\begin{pmatrix}
\frac{\partial{V}}{\partial{v}} & \frac{\partial{V}}{\partial{w}} \\
\frac{\partial{W}}{\partial{v}} & \frac{\partial{W}}{\partial{w}}
\end{pmatrix}$
erfolgen? Und das kann man ja dann hoffentlich leicht überprüfen. Aber wenn jemand eine bessere Idee hat, dann bitte melden, ich erkläre mich hiermit als unzuständig.
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Ex_Mitglied_4018
| Beitrag No.6, eingetragen 2016-01-21
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Ich habe mir nicht alles genau durchgelesen und beziehe mich nur auf den Startbeitrag: Die Jacobi-Matrix von $(V,W)\mapsto (v,w)$ kann auch dadurch berechnet werden, dass man die Jacobi-Matrix von $(v,w) \mapsto (V,W)$ (an den geeigneten Stellen) invertiert - Stichwort: Lokaler Umkehrsatz.
Wenn das Deine Frage nicht beantwortet muss Du wohl den Kontext noch genauer erklaeren.
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