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Kombinatorik & Graphentheorie » Graphentheorie » Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5
Thema eröffnet 2016-02-17 22:35 von Slash
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Kein bestimmter Bereich Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5
haribo
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  Beitrag No.2240, eingetragen 2022-04-04

benutzt du denn jetzt für nen 10er rahmen stefans befehl aus #2236 Eingabe Rahmen(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) ???


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Slash
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  Beitrag No.2241, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-04

Diese Rahmenvariationen habe ich damit gemacht. Dann muss man (bzw. ich) aber noch auf Button "wenige Winkel" klicken, um überhaupt Winkel zur Verfügung zu haben. Die Einstellung der Winkel, damit es keine Überschneidungen gibt, habe ich manuell gemacht. Vielleicht hatte Stefan aber auch schon eine Funktion programmiert, die das automatisch macht. Die Übersicht schwindet leider mit der Zeit und nach der langen Pause. Die Zahlen müssen nur als Summe 10 ergeben. Du kannst also direkt z.B. (2,2,1,1,2,1,1) eingeben.


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Slash
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  Beitrag No.2242, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-05

\quoteon(2022-04-03 15:58 - Slash in Beitrag No. 2237) https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_10er_rahmen_7.png \quoteoff Als Beweis genügt hier wohl schon, das Hinzufügen von 2 bis 4 Kanten, die mit vorhandenen Kanten entweder Rauten oder Dreiecke bilden. Da die Flexibilität der Rahmen so eingeschränkt ist, würde das Hinzufügen weiterer Kanten bereits zu Überschneidungen führen.


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haribo
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  Beitrag No.2243, eingetragen 2022-04-07

Beim 4/9er und 4/11er haben wir außen auch jeweils einzelne Verbinder welche nach innen kein Dreieck bilden,, im Sinne von Beweis wären die mitzubedenken ? Sie liegen ja weit weg von den 9 bzw 11er Knoten, sind also nicht eindeutig unmöglich bei 4/4er graphen Im Sinne vom schema des Rahmens müssten es 0-er sein? 1,1,1,2,1,0,1,1,1usw? Jedenfalls bei brute force sollten die dabei sein , kannst du die variantenzahl dafür für einen 20er Rahmen (harborth) irgendwie einschätzen??? Schnellschuss: Das hängt doch davon ab wie tief man maximal nach innen konstruieren kann , bei drei Tiefenrinne also evtl 4^4^4^20.... oder ähnliches irgendsoeins ???


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Slash
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  Beitrag No.2244, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-07

\quoteon(2022-04-07 06:01 - haribo in Beitrag No. 2243) Beim 4/9er und 4/11er haben wir außen auch jeweils einzelne Verbinder welche nach innen kein Dreieck bilden, im Sinne von Beweis wären die mitzubedenken? \quoteoff Bei minimalen 4/4 Graphen können einzelne Kanten im Rahmen ausgeschlossen werden. Eine äußere Einzelkante würde einen zusätzlichen inneren Knoten auf zweiter Ebene erzeugen. \quoteon(2022-04-07 06:01 - haribo in Beitrag No. 2243) kannst du die variantenzahl dafür für einen 20er Rahmen (harborth) irgendwie einschätzen??? Schnellschuss: Das hängt doch davon ab wie tief man maximal nach innen konstruieren kann , bei drei Tiefenrinne also evtl 4^4^4^20.... oder ähnliches irgendsoeins ??? \quoteoff Die Variantenanzahl für einen 4/4 Rahmen lässt sich genau angeben. Ein Algorithmus wird schon etwas schwieriger, ist aber möglich aufgrund der Winkelsumme und verbotenen Überschneidungen. Für einen 20er-Rahmen würde ich ca. 60 Varianten ins Blaue schätzen. Was die Konstruktionstiefe nach Innen betrifft, so wird es schwieriger. Hier lässt wohl nur eine untere und obere Schranke angeben, deren Minimalität und Maximalität sich zwar genau angeben lässt, aber dann jeweils fernab der Realität bzw. der Intuition liegt. So wurde ja auch die Minimalität von 20 Knoten begründet. Mein Vorschlag wäre einfach mal einen Beweis für 9er oder 10er-Rahmen anzugehen, und dann direkt am Beispiel die auftretenden Schwierigkeiten zu erörtern.


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Slash
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  Beitrag No.2245, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-07

Die Winkelsumme im regelmäßigen n-Eck beträgt (n – 2) · 180°. Diese bleibt konstant, wenn sich Winkel ändern, aber die Kantenlänge gleich bleibt. Für Rahmen-Elemente aus 2 oder mehr Dreiecken sind die Innenwinkel zwischen den Dreiecken 60°. Damit lässt sich formal die Anzahl an möglichen Rahmen ohne Überschneidungen (ÜS) zeigen/beweisen. Wenn nach Abzug von 2n · 60° für die Rahmendreiecke mehr als 60° übrigbleiben bzw. ab 120°, sind 2er-Elemente möglich, da sich mindestens 60° auf die übrigen Winkel zwischen den Dreiecken verteilen müssen, damit keine ÜS entstehen. \sourceon nameDerSprache (n – 2) · 180° - 2n · 60° = (n – 6) · 60° = Winkelsumme für die Rahmen-Zwischenräume n = 6: 0° (ÜS) n = 7: 60° (keine ÜS) n = 8: 120° (keine ÜS, ein 2er-Element möglich) n = 9: 180° (keine ÜS, zwei 2er-Elemente möglich) n = 10: 240° (keine ÜS, drei 2er-Elemente möglich) usw. \sourceoff Für 3er-Elemente müssen die Überlegungen dann erweitert werden, da der Rahmen gestreckt wird und ja schließen muss. Theoretisch müsste für n = 9 ein 3er-Element möglich sein, ist es aber nicht. Für n = 10 funktioniert es auch nicht, denn hier fallen die Kanten wie beim Fall n = 6 zusammen. Für 3er-Elemente muss die Winkelsumme für die Rahmen-Zwischenräume also mehr als 240° betragen. ...oder einfacher argumentiert: sei d die Anzahl der Dreiecke des längsten Rahmen-Elements, dann ist ein ÜS freier Rahmen nur möglich, wenn n / (d + 2) > 2 ist. Gilt n / (d + 2) = 2 fallen die Knoten zusammen, wie z.B. bei n = 6. \sourceon nameDerSprache n = 11: 300° (keine ÜS, vier 2er-Elemente möglich, zwei 3er-Elemente möglich, und Kombinationen) usw. \sourceoff Vielleicht ist das aber alles auch komplizierter als hier von mir dargestellt. Hier zwei Beispiele für n = 11. Von unten gegen den UZS wie beim Programm. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_9er_rahmen_2b.png


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Slash
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  Beitrag No.2246, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-07

@ Stefan Langeweile am WE 😉? Wie wäre es mit einer erweiterten Funktion "Rahmen", die den Rahmen, wenn möglich, gleich überschneidungsfrei darstellt? Ich habe es bis jetzt so gemacht, dass ich die/eine größte Zahl an den Anfang schreibe, danach auf "wenige Winkel" klicke, dann den grünen und blauen Winkel so einstelle, dass der Innenwinkel zum nächsten Dreieck mind. ein Grad beträgt, und dann die restlichen Winkel überschneidungsfrei anpasse. Wie immer kann ich die Realisierbarkeit und den Aufwand nicht einschätzen. Das überlasse ich dem Mastermind 😎. Beispiel für einen 12er Rahmen: Rahmen(3,1,1,1,2,1,2,1); https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_rahmen_12er_s.png 24 Knoten, 5×Grad 2, 6×Grad 3, 13×Grad 4, 0 Überschneidungen, 40 Kanten, minimal 0.99999999999999911182, maximal 1.00000000000000111022, Einsetzkanten=Beweglichkeit-5, einzustellende Kanten, Abstände und Winkel: $ %Eingabe war: % %Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3) % % % % % % % % %P[1]=[214.99768818893222,-27.499585858754216]; P[2]=[338.332562729644,-27.499585858754216]; D=ab(1,2); A(2,1); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,4,5); L(7,6,5); M(23,7,5,blauerWinkel); L(24,7,23); M(8,1,2,gruenerWinkel); L(9,1,8); M(10,9,1,orangerWinkel); L(11,9,10); M(12,11,9,vierterWinkel); L(13,11,12); M(14,13,11,fuenfterWinkel); L(15,13,14); L(16,15,14); L(17,15,16); M(18,17,15,80.75091433593931); L(45,17,18); M(21,23,7,229.2490856640606) ; L(22,23,21); M(46,21,22,244.99999999999994) ; L(47,21,46); Q(20,22,21,D,ab(47,21,46,"gedreht")); Q(19,17,23,ab(45,17,18,"gedreht"),ab(46,23,20,21,22,"gedreht")); % % % %Ende der Eingabe. \begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize] \definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00} \definecolor{Green}{rgb}{0.00,0.50,0.00} \definecolor{Orange}{rgb}{1.00,0.64,0.00} \definecolor{Teal}{rgb}{0.00,0.50,0.50} \definecolor{Violet}{rgb}{0.93,0.51,0.93} %Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0); \foreach \i/\x/\y in { 1/0.54463903501502686222/0.00000000000000000000, 2/1.54463903501502697324/0.00000000000000000000, 3/1.04463903501502697324/0.86602540378443859659, 4/2.04463903501502697324/0.86602540378443859659, 5/2.54463903501502697324/0.00000000000000000000, 6/3.04463903501502697324/0.86602540378443859659, 7/3.54463903501502697324/0.00000000000000000000, 8/0.99862953475457394426/0.89100652418836778779, 9/0.00000000000000000000/0.83867056794542416132, 10/0.94551857559931662411/1.16423872240258052813, 11/0.19080899537654485987/1.82029775139308780396, 12/1.13050161616245326002/1.47827760806741892452, 13/0.95685343849552295659/2.46308536107962749995, 14/1.75548894854281578581/1.86127033792757901054, 15/1.87735829194796322028/2.85381648956890110469, 16/2.67599380199525604951/2.25200146641685305937, 17/2.79786314540040326193/3.24454761805817470943, 18/2.85968994884169402937/2.24646072485887415837, 19/3.69314515181592861737/2.79904775387347015680, 20/2.94331015936289208668/2.13742287216711002173, 21/3.89121161092299239215/1.81885916090944621537, 22/3.14137661846995541737/1.15723427920308785666, 23/4.08927807003005394648/0.83867056794542393927, 24/3.09064853527548066836/0.89100652418836756574} \coordinate (p-\i) at (\x,\y); %Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle; %gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle; \foreach \i/\a/\b/\r/\c in { 7/180.00/417.00/0.4/Blue, 1/0.00/63.00/0.4/Green, 9/303.00/379.00/0.4/Orange, 11/259.00/340.00/0.4/Violet, 13/220.00/323.00/0.4/Teal} \fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle; %Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2); \foreach \i/\j in { 2/1, 3/1, 3/2, 4/3, 4/2, 5/4, 5/2, 6/4, 6/5, 7/6, 7/5, 8/1, 9/1, 9/8, 10/9, 11/9, 11/10, 12/11, 13/11, 13/12, 14/13, 15/13, 15/14, 16/15, 16/14, 17/15, 17/16, 18/17, 19/17, 19/18, 19/21, 20/22, 20/21, 20/19, 21/23, 22/23, 22/21, 23/7, 24/7, 24/23} \draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j); %Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt) \foreach \i in {1,...,24} \fill[red] (p-\i) circle (1.125pt); %einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2); %nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2); %Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm); \foreach \i/\a/\b/\r/\c in { 7/180.00/417.00/0.4/Blue, 1/0.00/63.00/0.4/Green, 9/303.00/379.00/0.4/Orange, 11/259.00/340.00/0.4/Violet, 13/220.00/323.00/0.4/Teal} { \draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm); \fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i); } %Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1}; \foreach \i/\a in { 1/210, 2/330, 3/150, 4/150, 5/330, 6/30, 7/267, 8/33, 9/153, 10/349, 11/109, 12/310, 13/70, 14/233, 15/53, 16/293, 17/53, 18/244, 19/71, 20/131, 21/311, 22/191, 23/27, 24/147} \node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i}; \end{tikzpicture} $


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haribo
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  Beitrag No.2247, eingetragen 2022-04-08

\quoteon(2022-04-07 11:01 - Slash in Beitrag No. 2244) \quoteon(2022-04-07 06:01 - haribo in Beitrag No. 2243) Beim 4/9er und 4/11er haben wir außen auch jeweils einzelne Verbinder welche nach innen kein Dreieck bilden, im Sinne von Beweis wären die mitzubedenken? \quoteoff Bei minimalen 4/4 Graphen können einzelne Kanten im Rahmen ausgeschlossen werden. Eine äußere Einzelkante würde einen zusätzlichen inneren Knoten auf zweiter Ebene erzeugen. \quoteoff Das ist kein Argument, evtl erfordert es eine mindestrahmengrösse aber unmöglich ist es nicht sonst gäbe es den 4/9er nicht


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Slash
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  Beitrag No.2248, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-08

\quoteon(2022-04-08 06:58 - haribo in Beitrag No. 2247) \quoteon(2022-04-07 11:01 - Slash in Beitrag No. 2244) \quoteon(2022-04-07 06:01 - haribo in Beitrag No. 2243) Beim 4/9er und 4/11er haben wir außen auch jeweils einzelne Verbinder welche nach innen kein Dreieck bilden, im Sinne von Beweis wären die mitzubedenken? \quoteoff Bei minimalen 4/4 Graphen können einzelne Kanten im Rahmen ausgeschlossen werden. Eine äußere Einzelkante würde einen zusätzlichen inneren Knoten auf zweiter Ebene erzeugen. \quoteoff Das ist kein Argument, evtl erfordert es eine mindestrahmengrösse aber unmöglich ist es nicht sonst gäbe es den 4/9er nicht \quoteoff Klar ist sowas möglich, aber es geht ja um die Minimalität des Rahmens, und da ist ein Dreieck die bessere Lösung als zwei Einzelkanten. Ich denke, das genügt bereits als Argument, sich nur auf Dreiecke im Rahmen zu beschränken. Ziel ist es ja, eine Knotengrenze von ca. 30 Knoten anzupeilen. Da kann ein Rahmen eh nur aus maximal 14 Dreiecken oder 28 Knoten bestehen. Aber wir können und sollten das ruhig noch weiter diskutieren, an direkten Beispielen kleiner Rahmen. Hier ein Artikel von Sascha Kurz aus dem Jahr 2009, in dem er zu einer unteren Schranke von 34 Knoten kommt. Ich habe aber nicht ganz verstanden, ob diese Schranke auch bewiesen wurde.


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  Beitrag No.2249, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-08

Hier mal ein Beispiel eines möglichen Rahmens aus 14 Dreiecken, der zeigt, dass die Rauten bei einzelnen Dreiecken als einzig mögliche Fortsetzung nach Innen ein absolutes KO-Kriterium sind. Ein solcher Rahmen braucht nicht weiter untersucht zu werden, da er nicht ÜS frei konstruierter ist. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_rahmen_14_s.png Ich könnte mir vorstellen, dass es genügt ein paar mögliche Bewegungsstudien von diesen Rahmenstücken, also ein Dreieck zwischen anderen Elementen, als Teilbeweis zu benutzen. Also welche Winkelgrößen muss ein einzelnes Rahmendreieck zu seinen Nachbarelementen haben, damit eine ÜS freie Fortsetzung nach Innen möglich ist?


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haribo
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  Beitrag No.2250, eingetragen 2022-04-08

https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-kleiner60.jpg alle drei winkel müssen kleiner 60° betragen, kann man bestimmt noch anders ausdrücken


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  Beitrag No.2251, eingetragen 2022-04-08

ich glaub wir waren schon mal weiter in den beschreibungen, indem nicht nur aussen die hülle gezählt wurde sondern nach innen immer weitere geschlossene gummis gespannt wurden, bei den dreiecken argumentierst du also gerade im 2. ring(gelb) und meinst er dürfte immer nur dreiecke bilden, die nummerierung von stefans "rahmenbefehl" bezieht sich dann eigentlich auf den dritten ring (blau) und beschreibt wie viele dreiecke jeweils direkt nebeneinander zwischen gelb und blau angeordnet sind und dein letzter beitrag fragt nach den 4er feldern (rauten) auch zwischen gelb und blau https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-114-gummi-b.png wäre es evtl eindeutig wenn wir die feldgrössen reihum (GUZ) beschreiben? angefangen bei der länge des umfangs (sozusagen die aussen feld-grösse) hier 21 dann weiter mit 3,3,3,3,3,3,3,3,..... zwischen rot und gelb dann 4,3,5,3,5,3,3,4,3,4.... zwischen gelb und blau (wilkürlich begonnen bei pkt 29) oder wäre es geschickter wenn wir nur die nach innen freien punkte und die dazwischenliegenden hölzer beschreiben, also den aussen ring 1,1,1,1,1,1..summe21 gelb 2,2,2,2,2, summe 42 blau 1,3,1,3,1,1,2, (begonnen GUZ bei pkt 28) usw dann wäre also deine logig dass es im blauen band zwischen jedem freiem inneren eck der gelben dreiecke jeweils entweder 1 oder 2 oder 3..bis 5 (blaue) hölzer gibt 1 würde also einen stabilen gitterträger bedeuten, 2 immer die angeführte raute, 3 immer ein nach innen gerichtetes gebilde und 4 oder 5 dann weitere variantenreiche konstruktionen das würde für nen 10er rahmen bedeuten es gibt immer 10 felder zwischen gelb und blau, und letztlich brute force könnten alle 10 blauen abschnitte jeweils aus 1,2,3,4,5 hölzern haben und bei den letzten beiden evtl noch aus weiteren varianten bestehen dann gäbe es also 5^10 oder 6^10 oder 7^10 verschiedene blaue züge, bei in dieser logik, mit immer gleichen gelb und rotem verlauf davon sind viele gespiegelt oder gedreht, aber es sind trotzdem tausende zu untersuchen ??? genug für heute haribo


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  Beitrag No.2252, eingetragen 2022-04-08

spätestens ab nem 12er rahmen könnten sich auch schon die gelben spitzen innen berühren, das bedeutet es gibt gar nicht unbedingt ein fortlaufendes blaues gummi,. hmmm https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-12er-rahmen.PNG


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  Beitrag No.2253, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-09

#2251 schießt mir übers Ziel hinaus, da will ich jetzt gar nicht drauf eingehen. #2252 ist natürlich ein wichtiger Hinweis, den ich gar nicht bedacht hatte. Das muss natürlich erwähnt werden, ist dann aber schnell abzuhaken, da man bei den Teilgraphen mit der Nicht-Füllbarkeit für kleinere Rahmen argumentieren kann. Wenn für n = 7 keine Lösung, dann hier auch nicht. -------------------------------------------------- https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_35059_st-kleiner60_b.jpg bei #2249 und #2250 müssen wir die 6 möglichen Teilrahmenstücke untersuchen, mit einem Dreieck in der Mitte, also (1,1,1) ; (1,1,2) ; (1,1,3) ; (2,1,2) ; (2,1,3) ; (3,1,3) Die 2er können ja wieder ein Dreieck tragen und müssen keine Raute bilden. Deshalb müssen auch die 3er berücksichtigt werden. Damit könnte man dann bereits für alle Rahmen argumentieren, für die kein 4er-Element möglich ist. Das Füllen des Inneren muss dann gar nicht mehr betrachtet werden. Wenn die Rahmen größer werden, wie z.B. n = 21, dann gelten für die nächsten inneren Ebenen ja viel komplexere Regeln, die wohl gar nicht mehr zu fassen sind. Deshalb will ich #2251 erstmal nicht berücksichtigen. Mir geht es erstmal nur um Beweisideen und Möglichkeiten für die kleinen Rahmen. ...auf jeden Fall läuft es hier wieder an im Thread 😎, so soll es sein! Nachher kommt Stefan dazu, und dann geht sie ab, die Luzi.


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haribo
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  Beitrag No.2254, eingetragen 2022-04-09

Der gummiband Graph mit n=21 sollte gar nicht einen hochkomplexe 21er Rahmen behandeln sondern nur die Gummiband-Beschreibungs-typen-möglichkeit wieder ins Bewusstsein rufen Und stellt damit die Frage ob deine Beschreibung die beste oder einzigste ist... Ich appelliere also an deine lesetolleranz ...... „also (1,1,1) ; (1,1,2) ; (1,1,3) ; (2,1,2) ; (2,1,3) ; (3,1,3)“ begreife ich grade noch nicht(was damit gemeint sein möchte), vermutlich/möglicherweise beschreibst du damit aber exakt die gleichen Varianten die ich mit den blauen Gummis versuchte darzustellen???


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StefanVogel
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  Beitrag No.2255, eingetragen 2022-04-09

\quoteon(2022-04-07 22:22 - Slash in Beitrag No. 2246) Wie wäre es mit einer erweiterten Funktion "Rahmen", die den Rahmen, wenn möglich, gleich überschneidungsfrei darstellt? ... Beispiel für einen 12er Rahmen: Rahmen(3,1,1,1,2,1,2,1); https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_rahmen_12er_s.png \quoteoff So eine erweiterte Funktion ist schon drin, alles nach der Programmzeile \sourceon javascript 10669 //Winkel möglichst gleichmäßig abgleichen: \sourceoff und da haben sich schon einige Versuche und Änderungen angesammelt, zuletzt am Ende von Beitrag No.2236. Bis dahin werden die Rahmenstücke auf einem Umkreis verteilt. Um das sichtbar zu machen, habe ich in Streichholzgraph-2216.html vor diese Zeile folgendes eingefügt: \sourceon javascript 10686 sum=Zeichne_Rahmen(args,v,w,hoch); 10687 var Umkreis=document.getElementById("Umkreis_Rahmen"); 10688 Umkreis.removeAttribute("style"); //entfernt style="display:none" 10689 Umkreis.setAttribute("r",1/x*D); 10690 Umkreis.setAttribute("cx",(args[0]/2)*D); 10691 Umkreis.setAttribute("cy",-Math.sqrt(1/x**2-(args[0]/2)**2)*D); 10692 document.getElementById("Ausgabe").innerHTML=" Außenwinkel:\n"+v.join("\n")+" "; 10693 return; 10694 //Winkel möglichst gleichmäßig abgleichen: \sourceoff Damit sieht der Graph so aus: $ %Eingabe war: % %Anfang für einen neuen, noch unbenannten Streichholzgraph % % % % %P[1]=[0,0]; P[2]=[50,0]; D=ab(1,2); A(2,1,Bew(1)); %Rahmen(3,1,1,1,2,1,2,1); %//Rahmen(3,1,1,1,3,1,1); % % % % % % % %Ende der Eingabe. \begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize] \draw[blue!50] (1.9588,1.33) circle (2.0095944422557523); %Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0); \foreach \i/\x/\y in { 1/0.45883501129092268966/0.00000000000000000000, 2/1.45883501129092274518/0.00000000000000000000, 3/0.95883501129092263415/0.86602540378443859659, 4/1.95883501129092274518/0.86602540378443859659, 5/2.45883501129092296722/0.00000000000000000000, 6/2.95883501129092296722/0.86602540378443859659, 7/3.45883501129092296722/0.00000000000000000000, 8/0.99889968497792924751/0.84162351929787893035, 9/0.00000000000000000000/0.88852148674844033671, 10/0.87883234137807586528/1.36565219813466942611, 11/0.02620885370282245372/1.88817797574232648650, 12/1.02619368176568181994/1.88266946922116384933, 13/0.53097177431849129636/2.75143598698319502560, 14/1.24343026492460562160/2.04972172949425290867, 15/1.49490339280470729832/3.01758601024553563263, 16/2.20736188341082151254/2.31587175275659395979, 17/2.45883501129092296722/3.28373603350787623967, 18/2.47953685306611859573/2.28395033959786886157, 19/3.33502574144484009722/2.80177150743531777621, 20/2.65222525087612215344/2.07116662784641336614, 21/3.62634788201334323787/1.84514649709187872340, 22/2.94354739144462529410/1.11454161750297364719, 23/3.91767002258184682262/0.88852148674843933751, 24/2.91877033760391801920/0.84162351929787948546} \coordinate (p-\i) at (\x,\y); %Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle; %gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle; %Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2); \foreach \i/\j in { 2/1, 3/1, 3/2, 4/3, 4/2, 5/4, 5/2, 6/4, 6/5, 7/6, 7/5, 7/23, 8/1, 9/1, 9/8, 10/9, 11/9, 11/10, 12/11, 13/11, 13/12, 14/13, 15/13, 15/14, 16/15, 16/14, 17/15, 17/16, 18/17, 19/17, 19/18, 19/21, 20/21, 20/19, 21/23, 22/23, 22/21, 22/20, 24/7, 24/23} \draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j); %Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt) \foreach \i in {1,...,24} \fill[red] (p-\i) circle (1.125pt); %einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2); %nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2); %Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm); %Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1}; \foreach \i/\a in { 1/211, 2/330, 3/90, 4/150, 5/330, 6/90, 7/334, 8/27, 9/147, 10/358, 11/210, 12/330, 13/90, 14/225, 15/45, 16/285, 17/45, 18/241, 19/77, 20/137, 21/317, 22/257, 23/317, 24/153} \node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i}; \end{tikzpicture} $ Die Eckpunkte liegen alle auf einem Kreis. Außerdem werden am Seitenende die Außenwinkel mit ausgegeben \sourceon nameDerSprache Außenwinkel: 62.688041572505284 28.8137870993734 28.8137870993734 44.249085664060665 44.249085664060665 44.249085664060644 44.24908566406077 62.6880415725052 \sourceoff Diese wurden bisher so ausgeglichen, dass die Summe (60°-Außenwinkel)p möglichst klein wird für ein geeignetes p. Da muss ich jetzt weiter probieren, ob sich das noch verbessern lässt oder ob da ein ganz anderes Verfahren verwendete werden muss oder ein Fehler drin ist. Wenn man die Zeile "10693 return" weglässt, wird das bisherige Verfahren verwendet, aus dem sich bei P38,P40 überschneidenden Rahmen $ %Eingabe war: % %Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3) % % % % %P[1]=[0,0]; P[2]=[50,0]; D=ab(1,2); A(2,1); %//Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3); %//Rahmen(2,3,4,3,3,4,3); %Rahmen(2,3,4,3,3,4,4); %//Rahmen(1,1,1,1,2,1,1,3,1,1,1,4,1,1,1,3,1,2,1,1,1); %//Rahmen(3,3,3,3,3,3,3,3); %//Rahmen(2,2,2,2,4,3,4,4); % % %Ende der Eingabe. \begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize] \draw[blue!50] (3.349,3.671) circle (3.805); %Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0); \foreach \i/\x/\y in { 1/2.34944656392556128210/0.00000000000000000000, 2/3.34944656392556128210/0.00000000000000000000, 3/2.84944656392556128210/0.86602540378443859659, 4/3.84944656392556128210/0.86602540378443859659, 5/4.34944656392556083802/0.00000000000000000000, 6/2.49639641981279591931/0.98914394293991447782, 7/1.56629770928370759542/0.62183427975076488448, 8/1.71324756517094245467/1.61097822269067925127, 9/0.78314885464185379771/1.24366855950152976895, 10/0.93009871052908865696/2.23281250244144402473, 11/0.00000000000000000000/1.86550283925229454240, 12/0.89393319735398679704/2.31370306088151034274, 13/0.05881382076427683903/2.86377180826170274486, 14/0.95274701811826334463/3.31197202989091898928, 15/0.11762764152855283151/3.86204077727111139140, 16/1.01156083888253922609/4.31024099890032719173, 17/0.17644146229282939298/4.86030974628052003794, 18/1.07037465964681643982/5.30850996790973539419, 19/0.23525528305710707855/5.85857871528992824040, 20/1.11578846997404368402/5.38459421476496125081, 21/1.08600449497027584655/6.38415057377278305495, 22/1.96653768188721245203/5.91016607324781606536, 23/1.93675370688344461456/6.90972243225563786950, 24/2.81728689380038055390/6.43573793173067087992, 25/2.78750291879661293848/7.43529429073849179588, 26/3.05099213757569920347/6.47063195002689006685, 27/3.75466962131656334378/7.18115147746869553202, 28/4.01815884009564872059/6.21648913675709291482, 29/4.72183632383651374909/6.92700866419889837999, 30/4.98532554261559912590/5.96234632348729665097, 31/5.68900302635646326621/6.67286585092910211614, 32/5.05098320107547849034/5.90284591446743966969, 33/6.03684994011224951294/5.73531450588682911729, 34/5.39883011483126473706/4.96529456942516755902, 35/6.38469685386803575966/4.79776316084455611843, 36/5.74667702858705098379/4.02774322438289456016, 37/6.73254376762382200639/3.86021181580228356367, 38/6.09452394234283723051/3.09019187934062200540, 39/7.08039068137960825311/2.92266047076001100891, 40/6.10624811311916371181/3.14859465742272881528, 41/6.39765465201609728751/2.19199535307000825668, 42/5.42351208375565185804/2.41792953973272650714, 43/5.71491862265258543374/1.46133023538000550445, 44/4.74077605439213911609/1.68726442204272397696, 45/5.03218259328907269179/0.73066511769000275223, 46/4.05804002502862815049/0.95659930435272078064} \coordinate (p-\i) at (\x,\y); %Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle; %gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle; %Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2); \foreach \i/\j in { 2/1, 3/1, 3/2, 4/3, 4/2, 5/4, 5/2, 5/45, 6/1, 7/1, 7/6, 8/7, 8/6, 9/7, 9/8, 10/9, 10/8, 11/9, 11/10, 12/11, 13/11, 13/12, 14/13, 14/12, 15/13, 15/14, 16/15, 16/14, 17/15, 17/16, 18/17, 18/16, 19/17, 19/18, 20/19, 21/19, 21/20, 22/21, 22/20, 23/21, 23/22, 24/23, 24/22, 25/23, 25/24, 26/25, 27/25, 27/26, 28/27, 28/26, 29/27, 29/28, 30/29, 30/28, 31/29, 31/30, 31/33, 32/33, 32/31, 33/35, 34/35, 34/33, 34/32, 35/37, 36/37, 36/35, 36/34, 37/39, 38/39, 38/37, 38/36, 40/41, 40/39, 40/42, 41/39, 42/43, 42/41, 42/44, 43/41, 44/45, 44/43, 44/46, 45/43, 46/5, 46/45} \draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j); %Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt) \foreach \i in {1,...,46} \fill[red] (p-\i) circle (1.125pt); %einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2); %nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2); %Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm); %Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1}; \foreach \i/\a in { 1/292, 2/330, 3/150, 4/30, 5/330, 6/52, 7/292, 8/52, 9/172, 10/52, 11/237, 12/357, 13/237, 14/357, 15/177, 16/297, 17/117, 18/57, 19/182, 20/242, 21/62, 22/2, 23/182, 24/2, 25/135, 26/195, 27/135, 28/315, 29/75, 30/255, 31/80, 32/140, 33/320, 34/140, 35/320, 36/140, 37/320, 38/200, 39/321, 40/137, 41/317, 42/137, 43/317, 44/197, 45/17, 46/137} \node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i}; \end{tikzpicture} $ mit den Außenwinkeln 38.45020737516754 54.92152207900002 54.92152207900002 46.42954722433527 54.92152207899996 63.41349693366482 46.94218222983226 wird der Graph $ %Eingabe war: % %Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3) % % % % %P[1]=[0,0]; P[2]=[50,0]; D=ab(1,2); A(2,1); %//Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3); %//Rahmen(2,3,4,3,3,4,3); %Rahmen(2,3,4,3,3,4,4); %//Rahmen(1,1,1,1,2,1,1,3,1,1,1,4,1,1,1,3,1,2,1,1,1); %//Rahmen(3,3,3,3,3,3,3,3); %//Rahmen(2,2,2,2,4,3,4,4); % % %Ende der Eingabe. \begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize] \draw[blue!50] (3.349,3.671) circle (3.805); %Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0); \foreach \i/\x/\y in { 1/2.02247490690684594838/0.00000000000000000000, 2/3.02247490690684550430/0.00000000000000000000, 3/2.52247490690684594838/0.86602540378443859659, 4/3.52247490690684550430/0.86602540378443859659, 5/4.02247490690684550430/0.00000000000000000000, 6/2.32503075915817580821/0.95313165736348925972, 7/1.34831660460456381756/0.73858688279504713936, 8/1.65087245685589323330/1.69171854015853617703, 9/0.67415830230228179776/1.47717376559009427872, 10/0.97671415455361143554/2.43030542295358298333, 11/0.00000000000000000000/2.21576064838514152910, 12/0.90435733967827469648/2.64253670461373779688, 13/0.08257976341823734800/3.21234510675973794491, 14/0.98693710309651183632/3.63912116298833376860, 15/0.16515952683647469601/4.20892956513433436072, 16/1.06951686651474919820/4.63570562136292974031, 17/0.24773929025471205789/5.20551402350893077653, 18/1.15209662993298689315/5.63229007973752704430, 19/0.33031905367294966958/6.20209848188352808052, 20/1.23578448114967631710/5.77767845449981809480, 21/1.15061029300049288970/6.77404453063505496146, 22/2.05607572047721953723/6.34962450325134497575, 23/1.97090153232803633188/7.34599057938658095424, 24/2.87636695980476320145/6.92157055200287096852, 25/2.79119277165557955200/7.91793662813810783518, 26/2.97685342961227084047/6.93532270594532285202, 27/3.73499171936514251513/7.58741651331554400883, 28/3.92065237732183513586/6.60480259112275902567, 29/4.67879066707470681052/7.25689639849298107066, 30/4.86445132503139898716/6.27428247630019697567, 31/5.62258961478426932956/6.92637628367041813249, 32/4.90682382900791669300/6.22803586531275144011, 33/5.86948726468328452199/5.95733472084953330494, 34/5.15372147890693188543/5.25899430249186750075, 35/6.11638491458229971443/4.98829315802864758922, 36/5.40061912880594707786/4.28995273967098089685, 37/6.36328256448131490686/4.01925159520776187350, 38/5.64751677870496227030/3.32091117685009651339, 39/6.61018021438033009929/3.05021003238687749004, 40/5.62632720721484691495/3.22918841178348259291, 41/5.96325388751195895054/2.28765752429015822855, 42/4.97940088034647576620/2.46663590368676288733, 43/5.31632756064358780179/1.52510501619343874502, 44/4.33247455347810461745/1.70408339559004384789, 45/4.66940123377521665304/0.76255250809671937251, 46/3.68554822660973391280/0.94153088749332436436} \coordinate (p-\i) at (\x,\y); %Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle; %gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle; %Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2); \foreach \i/\j in { 2/1, 3/1, 3/2, 4/3, 4/2, 5/4, 5/2, 5/45, 6/1, 7/1, 7/6, 8/7, 8/6, 9/7, 9/8, 10/9, 10/8, 11/9, 11/10, 12/11, 13/11, 13/12, 14/13, 14/12, 15/13, 15/14, 16/15, 16/14, 17/15, 17/16, 18/17, 18/16, 19/17, 19/18, 20/19, 21/19, 21/20, 22/21, 22/20, 23/21, 23/22, 24/23, 24/22, 25/23, 25/24, 26/25, 27/25, 27/26, 28/27, 28/26, 29/27, 29/28, 30/29, 30/28, 31/29, 31/30, 31/33, 32/33, 32/31, 33/35, 34/35, 34/33, 34/32, 35/37, 36/37, 36/35, 36/34, 37/39, 38/39, 38/37, 38/36, 40/41, 40/39, 40/42, 41/39, 42/43, 42/41, 42/44, 43/41, 44/45, 44/43, 44/46, 45/43, 46/5, 46/45} \draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j); %Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt) \foreach \i in {1,...,46} \fill[red] (p-\i) circle (1.125pt); %einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2); %nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2); %Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm); %Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1}; \foreach \i/\a in { 1/210, 2/330, 3/150, 4/30, 5/330, 6/42, 7/282, 8/42, 9/222, 10/42, 11/162, 12/295, 13/235, 14/55, 15/175, 16/55, 17/115, 18/355, 19/115, 20/305, 21/65, 22/305, 23/65, 24/305, 25/65, 26/251, 27/11, 28/251, 29/131, 30/311, 31/74, 32/134, 33/314, 34/134, 35/74, 36/134, 37/74, 38/194, 39/314, 40/80, 41/320, 42/80, 43/320, 44/80, 45/320, 46/140} \node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i}; \end{tikzpicture} $ [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2253 begonnen.]


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Slash
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  Beitrag No.2256, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-09

@ haribo: Sorry, da hatte ich dich missverstanden mit n = 21. Aber die Gummibandtheorie habe ich noch nicht verstanden. Es ist ja immer schwierig, hier mit ein paar kurzen Sätzen seine Theorien und Idee zu erklären. Kann sein, dass wir dasselbe meinen. Ich poste nachher mal meine 6 Varianten. @ Stefan: Danke für die Aufklärungen. Dass die Eckpunkte auf einem Kreis liegen bei "Rahmen", hatte ich überhaupt nicht (mehr) auf dem Schirm. ...lange Pause ...langer Thread ...aber schön, dass du die Übersicht behalten hast 👍 @ all: Was ich gerade versuche, ist für kleine Rahmen den Brute-Force-Prozess so klein wie möglich zu halten, als keine aufwändigen Winkeldurchläufe in 0,0001 Grad Schritten oder riesige Suchbäume. Die Überlegungen sollen aber formal nachvollziehbar und eben als Beweis gültig sein. Eine Übertragung oder Erweiterung auf größere Rahmen sehe ich bisher aber nicht. Da man ja auch die Mindestanzahl an noch benötigten Innenknoten abschätzen kann, wäre 40 Knoten als untere Schranke vielleicht drin. Ein Teilbeweis eben, wie bei allen schwierigen Matheproblemen.


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StefanVogel
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  Beitrag No.2257, eingetragen 2022-04-09

\quoteon(2022-04-09 09:08 - Slash in Beitrag No. 2256) Dass die Eckpunkte auf einem Kreis liegen bei "Rahmen", hatte ich überhaupt nicht (mehr) auf dem Schirm. \quoteoff Die Eckpunkte lagen auch nicht auf einem Kreis bisher. Der Kreis war nur ein erster Zwischenschritt für weitere Verbesserungen und weil diese Verbesserungen nicht ausreichend sind, habe ich mal den Kreis sichtbar gemacht als Ausgangspunkt für neue Versuche.


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  Beitrag No.2258, eingetragen 2022-04-09

https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-gummi-2.png Gummiband ist evtl auch der falsche Begriff, also nochmal ein erklärversuch: es gibt immer die aussenhülle als durchgehenden polygon, hier rot dann den nächsten durchgehenden polygon, gelb, der die innen anschließenden Dreiecke herstellt, dann der blaue, liefert sowohl die inneren Verbinder der gitterträger(welche du Rahmen nennst) als auch allerlei mögliche innere Erweiterungen wie die Raute oder eben noch komplexere, aber nicht sehr viele verschiedene 5 oder 6 mögen es sein Und nur diese 5 od 6 müssen wir zwischen jeweils zwei gitterträgern betrachten, aber in allen permutationsmöglichkeiten Also korrigierter Permutations Berechnungs versuch: 5^anzahl gitterträger- Beim 10er Rahmen, also wenn er aus 4 gitterträgern besteht, evtl 5^4 ~600 Verschiedene Situationen??? also wohl immer noch mehr als von dir erwartet vorteil dieser farbringe ist dass man damit eindeutig beschreibt wie weit nach innen man die überlegung fortsetzt, für deine kleinen rahmen 7;8;9 reicht blau sicher aus, da ist innen wenig weiteres möglich, aber schon bei 10;11;12 dürften noch ein zwei weitere farbringe dazu kommen um den blauen ring zu verstehen, zeichne Dir mal diese blaue farblinie in den harborthgraphen und den 108er und schau dir noch weitere 4/4er an, es wird ja nichts echt neues mehr geben können, also können wir sehr sicher aus unserer graphensammlung die vollständige blaue-gitter-verbinder-variantenanzahl bestimmen


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haribo
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  Beitrag No.2259, eingetragen 2022-04-09

https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-104-blau.jpg hier die ersten 4 blauen varianten welche in´m harborth vorkommen: A,B,C,D


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  Beitrag No.2260, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-09

Ok, das letzte Bild hat mir das klarer gemacht. A wurde zweimal eingezeichnet, oder? Damit erreicht man natürlich eine vollständige Beschreibung. Aber mit Brute-Force nicht zu händeln, wie du ja bereits angemerkt hast. Das müssen wir also reduzieren.


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  Beitrag No.2261, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-09

So, ich hoffe, ich habe nichts vergessen. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_5_m_glichkeiten_x_x_x_.png Bei (2,1,2) sind 3 Möglichkeiten zu betrachten, da die 2er ein Dreieck tragen können. Die Fünfecke können nur konvex sein, da konkave den Innenwinkel über 60 Grad bringen und der Rahmen an sich konkav wird, was gegen die Minimalität spricht. Einzelne Außendreiecke sind wie 2er ohne Dreiecks-Dach zu behandeln. Damit verbleiben 5 Fälle von allen Varianten. Gleiche Farben zeigen gleiche Fälle. (3,1,2) lässt 2 Möglichkeiten zu. Das Fünfeck über dem 3er kann konkav oder konvex sein, es ist egal. Der grüne Winkel muss aber immer < 16 Grad sein. (3,1,3) ist nicht ÜS frei möglich. Die Winkelsumme der beiden angrenzenden Elemente an ein einzelnes Rahmendreieck muss also immer > 60 Grad betragen im Falle zweier Rauten. (1,1,1) ; (1,1,2)a ; (2,1,2)c Gleiches gilt bei einem großen Dreieck (2er+Dach) und konvexen Fünfeck mit einer Raute. (1,1,2)b ; (2,1,2)b Bei zwei großen Dreiecken haben wir bereits > 90 Grad. (2,1,2)a Beim 3er mit Fünfeck und Raute sind es wieder > 60 Grad. (3,1,2)a ; (1,1,3) 3er mit Fünfeck und großes Dreieck > 67,3 Grad. (3,1,2)b Damit wären auf einen Schlag die Fälle bis n = 10 bewiesen, da die möglichen Rahmen so eng sind, dass keine Fortsetzung nach Innen möglich ist. Und das Brute-Forcing beschränkt sich allein auf die Konstruktion der Rahmen.


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StefanVogel
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  Beitrag No.2262, eingetragen 2022-04-10

\quoteon(2022-04-09 07:22 - StefanVogel in Beitrag No. 2255) Summe (60°-Außenwinkel)p \quoteoff muss Summe (60°-Rahmeninnenwinkel)p heißen und es gilt Außenwinkel=180°-Innenwinkel=60°-Rahmeninnenwinkel, so dass sich als zu minimierende Summenfunktion die Summe der Außenwinkelp ergibt und so steht es schon drin im Programm, also funktionieren tut es weiterhin nicht. Mit Innenwinkel meine ich den Winkel ∠(P2-P1,P7-P1) im nachfolgenden Streichholzgraph und mit Rahmeninnenwinkel den Winkel ∠(P3-P1,P6-P1). Als etwas einfacheres Beispiel habe ich mir den Graph Rahmen(2,2,2,2,4,3,4,4) ausgesucht, da ist die Überschneidung an nur einer Stelle. Als Zwischenzustand "alle Eckpunkte auf dem Umkreis" erhalte ich den Graph $ %Eingabe war: % %Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3) % % % % %P[1]=[0,0]; P[2]=[50,0]; D=ab(1,2); A(2,1); %//Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3); %//Rahmen(2,3,4,3,3,4,3); %//Rahmen(2,3,4,3,3,4,4); %//Rahmen(1,1,1,1,2,1,1,3,1,1,1,4,1,1,1,3,1,2,1,1,1); %//Rahmen(3,3,3,3,3,3,3,3); %Rahmen(2,2,2,2,4,3,4,4); % % %Ende der Eingabe. \begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize] \draw[blue!50] (3.685,3.65) circle (3.79); %Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0); \foreach \i/\x/\y in { 1/2.68596445227012603496/0.00000000000000000000, 2/3.68596445227012603496/0.00000000000000000000, 3/3.18596445227012603496/0.86602540378443859659, 4/4.18596445227012647905/0.86602540378443859659, 5/4.68596445227012647905/0.00000000000000000000, 6/2.69622110035766970881/0.99994739920158215440, 7/1.82511292615714859622/0.50885621740228070831, 8/1.83536957424469227007/1.50880361660386252964, 9/0.96426140004417137952/1.01771243480456141661, 10/1.48192030236210237071/1.87329952029089263910, 11/0.48213070002208552323/1.89381173745022235444, 12/0.99978960234001645890/2.74939882293655379897, 13/0.00000000000000000000/2.76991104009588351431, 14/0.88099826404517611600/3.24303053742122759928, 15/0.03076562831311662263/3.76943766611166841685, 16/0.91176389235829224944/4.24255716343701205773, 17/0.06153125662623267628/4.76896429212745243120, 18/1.00763836810938411936/4.44511041519989724691, 19/0.81505049690115016769/5.42639014690919996298, 20/1.76115760838430168711/5.10253626998164477868, 21/1.56856973717606829055/6.08381600169094749475, 22/2.51467684865921947690/5.75996212476339231046, 23/2.32208897745098630239/6.74124185647269502653, 24/3.26819608893413793282/6.41738797954513984223, 25/3.07560821772590431422/7.39866771125444344648, 26/3.35053728649610960133/6.43720319961340159409, 27/4.04572544402934752839/7.15603101322771895099, 28/4.32065451279955325958/6.19456650158667798678, 29/5.01584267033279029846/6.91339431520099534367, 30/5.29077173910299602966/5.95192980355995349129, 31/5.98595989663623395671/6.67075761717427173636, 32/5.35408920889997030912/5.89568379231647110572, 33/6.34125817490332988058/5.73600463725902276479, 34/5.70938748716706623298/4.96093081240122124598, 35/6.69655645317042402809/4.80125165734377379323, 36/6.06468576543416038049/4.02617783248597227441, 37/7.05185473143751995195/3.86649867742852437758, 38/6.41998404370125630436/3.09142485257072374694, 39/7.40715300970461409946/2.93174569751327585010, 40/6.43226287715474764894/3.15443209013056513612, 41/6.72685587034599308254/2.19880927313495666553, 42/5.75196573779612574384/2.42149566575224639564, 43/6.04655873098737028926/1.46587284875663792505, 44/5.07166859843750295056/1.68855924137392765516, 45/5.36626159162874838415/0.73293642437831896252, 46/4.39137145907888104546/0.95562281699560869264} \coordinate (p-\i) at (\x,\y); %Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle; %gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle; %Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2); \foreach \i/\j in { 2/1, 3/1, 3/2, 4/3, 4/2, 5/4, 5/2, 5/45, 6/1, 7/1, 7/6, 8/7, 8/6, 9/7, 9/8, 10/9, 11/9, 11/10, 12/11, 12/10, 13/11, 13/12, 14/13, 15/13, 15/14, 16/15, 16/14, 17/15, 17/16, 18/17, 19/17, 19/18, 20/19, 20/18, 21/19, 21/20, 22/21, 22/20, 23/21, 23/22, 24/23, 24/22, 25/23, 25/24, 26/25, 27/25, 27/26, 28/27, 28/26, 29/27, 29/28, 30/29, 30/28, 31/29, 31/30, 31/33, 32/33, 32/31, 33/35, 34/35, 34/33, 34/32, 35/37, 36/37, 36/35, 36/34, 37/39, 38/39, 38/37, 38/36, 40/41, 40/39, 40/42, 41/39, 42/43, 42/41, 42/44, 43/41, 44/45, 44/43, 44/46, 45/43, 46/5, 46/45} \draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j); %Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt) \foreach \i in {1,...,46} \fill[red] (p-\i) circle (1.125pt); %einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2); %nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2); %Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm); %Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1}; \foreach \i/\a in { 1/210, 2/330, 3/150, 4/30, 5/330, 6/59, 7/179, 8/59, 9/179, 10/29, 11/149, 12/29, 13/238, 14/298, 15/178, 16/358, 17/191, 18/311, 19/131, 20/251, 21/71, 22/11, 23/71, 24/11, 25/71, 26/196, 27/16, 28/256, 29/16, 30/316, 31/16, 32/141, 33/321, 34/201, 35/21, 36/141, 37/21, 38/201, 39/321, 40/137, 41/257, 42/197, 43/317, 44/77, 45/257, 46/197} \node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i}; \end{tikzpicture} $ mit einem Wert 17387.02 für die Summenfunktion (mit p=2) und einer Überschneidung bei P39. Wenn ich das Programm wie bisher weiterlaufen lasse (ohne Programmzeile 10639 return), erhalte ich $ %Eingabe war: % %Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3) % % % % %P[1]=[0,0]; P[2]=[50,0]; D=ab(1,2); A(2,1); %//Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3); %//Rahmen(2,3,4,3,3,4,3); %//Rahmen(2,3,4,3,3,4,4); %//Rahmen(1,1,1,1,2,1,1,3,1,1,1,4,1,1,1,3,1,2,1,1,1); %//Rahmen(3,3,3,3,3,3,3,3); %Rahmen(2,2,2,2,4,3,4,4); % % %Ende der Eingabe. \begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize] \draw[blue!50] (3.685,3.65) circle (3.79); %Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0); \foreach \i/\x/\y in { 1/2.33016839893246308080/0.00000000000000000000, 2/3.33016839893246308080/0.00000000000000000000, 3/2.83016839893246308080/0.86602540378443859659, 4/3.83016839893246308080/0.86602540378443859659, 5/4.33016839893246263671/0.00000000000000000000, 6/2.43825051172958673362/0.99414197019002759070, 7/1.52325725417814905605/0.59067284047201806807, 8/1.63133936697527270887/1.58481481066204565877, 9/0.71634610942383492027/1.18134568094403613614, 10/1.34582871773825929473/1.95836025341334907246, 11/0.35817305471191729360/2.11500089721947359678, 12/0.98765566302634144602/2.89201546968878631105, 13/0.00000000000000000000/3.04865611349491061333, 14/0.95518432353394300272/3.34466778231052286330, 15/0.22123853675602561664/4.02387583737976584075, 16/1.17642286028996867486/4.31988750619537675846, 17/0.44247707351205178838/4.99909556126462018000, 18/1.37181886978988698544/4.62987499616689035520, 19/1.22690236062524937743/5.61931888309102323120, 20/2.15624415690308479654/5.25009831799329429458, 21/2.01132764773844652240/6.23954220491742628241, 22/2.94066944401628127537/5.87032163981969645761, 23/2.79575293485164344531/6.85976552674382933361, 24/3.72509473112947819828/6.49054496164609950881, 25/3.58017822196484081232/7.47998884857023060846, 26/3.82295770747657348565/6.50990734611043286861, 27/4.54168318959226802178/7.20520129931120933975, 28/4.78446267510400158329/6.23511979685141071172, 29/5.50318815721969567534/6.93041375005218718286, 30/5.74596764273143012502/5.96033224759238944301, 31/6.46469312484712421707/6.65562620079316502597, 32/5.71375108938179199214/5.99525807665997678697, 33/6.66111767846327396114/5.67510725924399928033, 34/5.91017564299794262439/5.01473913511081370586, 35/6.85754223207942192886/4.69458831769483353469, 36/6.10660019661409059211/4.03422019356164618387, 37/7.05396678569557256111/3.71406937614566734496, 38/6.30302475023024033618/3.05370125201248088231, 39/7.25039133931172230518/2.73355043459650159932, 40/6.29353244204267436857/3.02410344304257128201, 41/6.52033560421690694398/2.05016282594737653255, 42/5.56347670694785811918/2.34071583439344621524, 43/5.79027986912209247095/1.36677521729825079966, 44/4.83342097185304453433/1.65732822574432048235, 45/5.06022413402727710974/0.68338760864912539983, 46/4.10336523675822917312/0.97394061709519463843} \coordinate (p-\i) at (\x,\y); %Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle; %gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle; %Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2); \foreach \i/\j in { 2/1, 3/1, 3/2, 4/3, 4/2, 5/4, 5/2, 5/45, 6/1, 7/1, 7/6, 8/7, 8/6, 9/7, 9/8, 10/9, 11/9, 11/10, 12/11, 12/10, 13/11, 13/12, 14/13, 15/13, 15/14, 16/15, 16/14, 17/15, 17/16, 18/17, 19/17, 19/18, 20/19, 20/18, 21/19, 21/20, 22/21, 22/20, 23/21, 23/22, 24/23, 24/22, 25/23, 25/24, 26/25, 27/25, 27/26, 28/27, 28/26, 29/27, 29/28, 30/29, 30/28, 31/29, 31/30, 31/33, 32/33, 32/31, 33/35, 34/35, 34/33, 34/32, 35/37, 36/37, 36/35, 36/34, 37/39, 38/39, 38/37, 38/36, 40/41, 40/39, 40/42, 41/39, 42/43, 42/41, 42/44, 43/41, 44/45, 44/43, 44/46, 45/43, 46/5, 46/45} \draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j); %Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt) \foreach \i in {1,...,46} \fill[red] (p-\i) circle (1.125pt); %einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2); %nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2); %Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm); %Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1}; \foreach \i/\a in { 1/294, 2/330, 3/150, 4/30, 5/330, 6/54, 7/294, 8/54, 9/174, 10/21, 11/261, 12/21, 13/141, 14/287, 15/167, 16/347, 17/107, 18/248, 19/68, 20/8, 21/128, 22/308, 23/188, 24/308, 25/134, 26/194, 27/14, 28/194, 29/134, 30/254, 31/15, 32/191, 33/11, 34/131, 35/311, 36/251, 37/11, 38/191, 39/311, 40/133, 41/13, 42/73, 43/13, 44/73, 45/13, 46/193} \node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i}; \end{tikzpicture} $ mit einem leicht verbesserten Wert 17168.08 für die Summenfunktion und immer noch einer geringen Überschneidung jetzt bei P31. Dann habe ich versucht, den Rahmen von Hand weiter zu verbessern (Button neue Eingabe "Rahmen zuerst" und dann die Winkel oder Winkelbezeichnungen anklicken und Buttons "-1" und "+1") und erhalte als eine mögliche Lösung den Graph $ %Eingabe war: % %Rahmen(2,3,2,2,2,3,2,3) % % % % % % % % %P[1]=[0,0]; P[7]=[-40.3455572377157,29.533642023600905]; D=ab(1,7); A(7,1); L(6,7,1); L(8,7,6); L(9,7,8); M(11,9,7,blauerWinkel); L(10,11,9); L(12,11,10); L(13,11,12); M(15,13,11,gruenerWinkel); L(14,15,13); L(16,15,14); L(17,15,16); M(19,17,15,orangerWinkel); L(18,19,17); L(20,19,18); L(21,19,20); L(22,21,20); L(23,21,22); L(24,23,22); L(25,23,24); M(27,25,23,vierterWinkel); L(26,27,25); L(28,27,26); L(29,27,28); L(30,29,28); L(31,29,30); M(33,31,29,fuenfterWinkel); L(32,33,31); L(34,33,32); L(35,33,34); L(36,35,34); L(37,35,36); L(38,37,36); L(39,37,38); Q(5,39,1,4*D,2*D); A(5,1); H(2,1,5,2); A(2,1); L(3,1,2); A(5,39); H(41,39,5,4); A(41,39); L(40,41,39); H(43,39,5,4/2); A(41,43); L(42,43,41); A(42,40); H(45,39,5,4/3); A(43,45); L(44,45,43); A(44,42); A(45,5); L(46,5,45); A(46,44); A(2,5); L(4,2,5); A(3,4); % % %Ende der Eingabe. \begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize] \definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00} \definecolor{Green}{rgb}{0.00,0.50,0.00} \definecolor{Orange}{rgb}{1.00,0.64,0.00} \definecolor{Teal}{rgb}{0.00,0.50,0.50} \definecolor{Violet}{rgb}{0.93,0.51,0.93} \draw[blue!50] (3.685,3.65) circle (3.79); %Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0); \foreach \i/\x/\y in { 1/3.56730818999943588565/0.00000000000000000000, 2/4.56006885055948973928/0.12010941197244251466, 3/3.95967071827771688319/0.91981065790904747992, 4/4.95243137883777073682/1.03992006988149010560, 5/5.55282951111954226064/0.24021882394488502932, 6/3.67539030279655998257/0.99414197019002759070, 7/2.76039704524512208295/0.59067284047201817909, 8/2.86847915804224529168/1.58481481066204565877, 9/1.95348590049080805819/1.18134568094403635818, 10/2.17868811783263272019/2.15565772608374706110, 11/1.22230802685756012593/1.86353254472049623125, 12/1.44751024419938478793/2.83784458986020693416, 13/0.49113015322431302634/2.54571940849695632636, 14/1.20785541408471641667/3.24307505696091435965, 15/0.24556507661215623561/3.51509951616807292396, 16/0.96229033747255998676/4.21245516463203095725, 17/0.00000000000000000000/4.48447962383919040974, 18/0.98269446038380936503/4.29924572432030149827, 19/0.65176449281731729801/5.24290104093036557487, 20/1.63445895320112644100/5.05766714141147577521, 21/1.30352898563463437398/6.00132245802153985181, 22/2.28622344601844273981/5.81608855850265005216, 23/1.95529347845195111688/6.75974387511271412876, 24/2.93798793883575948271/6.57450997559382432911, 25/2.60705797126926741569/7.51816529220388840571, 26/3.03036312299988130903/6.61217812423828998902, 27/3.60331845009550022496/7.43176472317262781786, 28/4.02662360182611500647/6.52577755520703117753, 29/4.59957892892173347832/7.34536415414136723001, 30/5.02288408065234737165/6.43937698617577058968, 31/5.59583940774796584350/7.25896358511010841852, 32/5.07071575465393831195/6.40793764604527371631, 33/6.07028766371060513052/6.37868019187017587512, 34/5.54516401061657759897/5.52765425280534117292, 35/6.54473591967324530572/5.49839679863024333173, 36/6.01961226657921777417/4.64737085956540951770, 37/7.01918417563588548092/4.61811340539031167651, 38/6.49406052254185706119/3.76708746632547786248, 39/7.49363243159852476794/3.73783001215038002130, 40/6.49377703115199267359/3.72082477184314974750, 41/7.00843170147877891907/2.86342721509900632881, 42/6.00857630103224860108/2.84642197479177605501, 43/6.52323097135903307020/1.98902441804763241429, 44/5.52337557091250275221/1.97201917774040258458, 45/6.03803024123928810951/1.11462162099625872180, 46/5.03817484079275779152/1.09761638068902889209} \coordinate (p-\i) at (\x,\y); %Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle; %gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle; \foreach \i/\a/\b/\r/\c in { 9/323.80/496.99/0.4/Blue, 13/316.99/464.22/0.4/Green, 17/284.22/409.33/0.4/Orange, 25/229.33/355.04/0.4/Violet, 31/175.04/298.32/0.4/Teal} \fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle; %Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2); \foreach \i/\j in { 2/1, 2/5, 3/1, 3/2, 3/4, 4/2, 4/5, 6/7, 6/1, 7/1, 8/7, 8/6, 9/7, 9/8, 10/11, 10/9, 11/9, 12/11, 12/10, 13/11, 13/12, 14/15, 14/13, 15/13, 16/15, 16/14, 17/15, 17/16, 18/19, 18/17, 19/17, 20/19, 20/18, 21/19, 21/20, 22/21, 22/20, 23/21, 23/22, 24/23, 24/22, 25/23, 25/24, 26/27, 26/25, 27/25, 28/27, 28/26, 29/27, 29/28, 30/29, 30/28, 31/29, 31/30, 32/33, 32/31, 33/31, 34/33, 34/32, 35/33, 35/34, 36/35, 36/34, 37/35, 37/36, 38/37, 38/36, 39/37, 39/38, 40/41, 40/39, 41/39, 41/43, 42/43, 42/41, 42/40, 43/45, 44/45, 44/43, 44/42, 45/5, 46/5, 46/45, 46/44} \draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j); %Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt) \foreach \i in {1,...,46} \fill[red] (p-\i) circle (1.125pt); %einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2); %nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2); %Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm); \foreach \i/\a/\b/\r/\c in { 9/323.80/496.99/0.4/Blue, 13/316.99/464.22/0.4/Green, 17/284.22/409.33/0.4/Orange, 25/229.33/355.04/0.4/Violet, 31/175.04/298.32/0.4/Teal} { \draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm); \fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i); } %Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1}; \foreach \i/\a in { 1/294, 2/217, 3/157, 4/37, 5/337, 6/54, 7/294, 8/54, 9/287, 10/347, 11/287, 12/47, 13/254, 14/14, 15/194, 16/74, 17/134, 18/259, 19/199, 20/259, 21/139, 22/259, 23/79, 24/19, 25/79, 26/265, 27/145, 28/205, 29/85, 30/265, 31/25, 32/208, 33/88, 34/148, 35/28, 36/208, 37/88, 38/268, 39/328, 40/151, 41/331, 42/91, 43/331, 44/91, 45/331, 46/211} \node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i}; \end{tikzpicture} $ Keine Überschneidung mehr, allerdings hat die Summenfunktion mit 18369 wieder einen größeren Wert als bei der vorhergehenden Lösung. Das zeigt, dass sie nicht so gut geeignet ist. Die muss irgendwie so gebildet werden, dass bei Überschneidungen (ein oder wenige Außenwinkel größer 60°) ein wesentlich größeres Ergebnis herauskommt im Vergleich dazu, dass Überschneidungen vermieden werden (viele Außenwinkel knapp unter 60°).


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  Beitrag No.2263, eingetragen 2022-04-11

https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-gummi-fragen.JPG hier nochmal ein detailierungsversuch der polygon-idee ansich zeigt sich dass es bei den kleinen 4/4er nur noch eine weitere innere polygone als die blaue gibt, also würde ich bei kleineren graphen (rahmen <= 20) auch nichts anderes erwarten, das bedeutet wenn wir dafür die varianten im blauen polygon beschreiben muss man immer nur noch maximal einen schritt weiter nach innen denken/probieren, bzw herausfinden ab welcher rahmengrösse überhaupt das erste mal ein holz im vierten polygon eingepasst werden kann(ohne das es zwangsweise und immer überschneidet) das erscheint mir grundsätzlich überschaubar und hoffe es ist hilfreich für unseren beweis, etwas schwierig wird es aber weil der vierte polygon offenbar nicht immer alles abdeckt sondern auch in mehrere teile zerlegt sein kann, beispielsweise beim dreiseitigen 114er, (linker bildteil) sind es dort doch fünf polygon nach innen? oder sagen wir die orange und schwarze linie ist eben über den ganzen innenraum betrachtet dreigeteilt? -------------------------------- als zweites hab ich (rechter bildteil) nach dem kleinsten mir bekannten 4/4er mit einem aussenliegenden einzelholz gesucht, und bisher dafür diesen 4/4 160er gefunden, also ein graph der im gelben polygon nicht überall dreiecke [B] sondern auch ein [C] hat, in dem fall kommt es zweimal vor, mit wenigen hölzern mehr (164) könnte man den weis gezeichneten teil aber auch aus zwei doppelkites bilden, dann käme das gelbe C nur noch einmal vor der graph entsteht durch eine kite-flügel-erweiterung die wir mal bei der suche nach 4/2er mit verschiedenen spannweiten entdeckt hatten, möglich dass man dieses detail auch irgendwo anders unterbringen kann, mir ist es aber spontan noch nicht gelungen auch hier ist im polygon-zeichen-modus die frage nach der innersten linie(schwarz), gehört sie noch zu der blauen? welche ja sonst unterbrochen wäre, oder ist sie innere ebene nummer vier?


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  Beitrag No.2264, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-11

\quoteon(2022-04-11 13:25 - haribo in Beitrag No. 2263) das erscheint mir grundsätzlich überschaubar und hoffe es ist hilfreich für deinen beweis, slash \quoteoff unser Beweis (3er-Team 😎) ...wir müssen uns nur erstmal auf eine Vorgehensweise festlegen, und dann schauen, wir das formalisiert kriegen, als in Mathe-Sprech. Ich habe jetzt endlich verstanden, wie du das meintest mit den "ineinander geschichteten" Polygonen. Das ist auf jeden Fall eine gute Art der Beschreibung. Das Wort Gummi bzw. Gummiband hatte mich aber völlig verwirrt 😄. Ab jetzt bitte statt Gummi nur noch Polygon verwenden - klingt auch gleich mathematischer 😉.


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  Beitrag No.2265, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-11

Bei diesen 4/4 ist ein fünftes Polygon nötig. Der mittlere ist besonders eindeutig mit seinem Ring. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_polycolor1.png


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  Beitrag No.2266, eingetragen 2022-04-11

Ok polygon, deine Beispiele sind im 150 hölzer Bereich? Hab’s nicht nachgezählt. bzw. 24er hüllen Da gibt’s also fünf Polygone Wo ist eine sichere Grenze dafür? Und wo liegt die Grenze zwischen drei und vier polygonen? 10? 13? Ist 7 die Grenze ab der drei möglich werden? Jedenfalls ist das der kleinste bei dem der zweite als durchgehender B,B,B,B,B,B,B, möglich wird


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  Beitrag No.2267, eingetragen 2022-04-11

https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-10er-rahmen.jpg beweisversuch dass es keinen 4/4er geben kann für 20 knotenpunkte: (oder gleich 22?) am 10er rahmen, - gehen wir davon aus dass es keine einzel-randhölzer gibt, dann muss es überall gelbe B´s geben, also 10 weitere gelbe innenknoten - an jedem dieser 10 inneren gelben punkte müssen zwei blaue anschliessen, die alle 1 lang sind als erstes kriterium müssten diese 20 blauen mal überschneidungsfrei in den innenraum passen, bei symetrischer hülle tuen sie das definitiv nicht, mehr als die im beispiel dargestelten 12 bekommt man nicht unter, von 4 gelben punkten können keine blauen starten du kannst gerne versuchen ob du bei verziehung der hülle im program mehr unterbekommst, insbesondere wenn du einige blaue A´s (direkt verbinder zwischenzwei benachbarten gelben innenpunkten) herstellst könnte das sein als zweites kriterium müssten sie am ende wieder 4er knoten bilden, es gelingt mir immerhin 3 mal zweierknoten anzuordnen aber mehr nicht, (um die fehlenden blauen darzustellen habe ich halbe blaue eingezeichnet, das ist zulässig als ansatz weil man kann den 4/4er graphen ja auch als von jedem knoten 4 halbe arme in richtung auf andere knoten weisend auffassen) damit ist meinermeinung nach stark bewiesen (?) dass die 10er hülle mit ihren mindestens 10 weiteren inneren gelben punkten, also in summe 20 punkte, keinen 4/4er zulässt übertrag das mal auf deine 10er rahmen #2242, ob auch dort das erste kriterium schon als begründung ausreicht dito die 11er hülle, dort sind es nur noch 2 gelbe punkte die nicht als startplatz passen 24 und 26+ folgt sogleich


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  Beitrag No.2268, eingetragen 2022-04-11

https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-12er-rahmen.JPG beim 13er rahmen passen die blauen zentral nach innen erstmals alle hinein, weil bei 13 erstmals der eingezeichnete aussenwinkel über zwei rahmenseiten kleiner 60° beträgt, da reicht dies erste kriterium dann nicht mehr aus, da muss man dann doch weiterargumentieren dass sie nicht alle 4er knoten bilden können, wie kann man das darstellen? nach einigem probieren hab ich auch beim 12er rahmen alle 24 blauen untergebracht, aber ohne weitere nennenswerte verbindungsmöglichkeit, also die 24 als sichere untergrenze würde ich damit schon proklamieren, vorsichtshalber sollten wir aber doch deine 12 rahmen auch noch stück für stück durchprobieren also um beim 13er weiterzukommen, wie viele rahmenvarianten hast du für ihn? und wie sehen die aus, ich bin ernsthaft gespannt ob bei ihnen auch noch alle freien blauen hineinpassen, sie können ja nicht mehr blau´B sein denn der aussenwinkel über zwei felder wird ja bei deinen rahmenvarianten wieder >60° werden mir scheint das derzeit der beste weg: uns von 13 bis 20er rahmen(harborth) schritt für schritt durch alle varianten zu ackern, und dabei schrittweise immer bessere ausschluss argumente zu finden... das wird trotzdem immer aufwendiger und bei 17;18 oder 19 finden wir dann endlich den finalen kleineren unsymetrischen 4/4er.... ok? die erkenntnis dass er ziemlich sicher keien 5. polygon hat macht es in meinen augen leistbar


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  Beitrag No.2269, eingetragen 2022-04-11

11er rahmen hab ich fürs erste kriterium zwei varianten überprüft, links fehlt ein blauer, rechts bekommt man sie unter(aber natürlich ohne weitergehende sinnige endverbindungen das zeigt aber dass man nicht nur die symetrische gelb-BBBB anordnung prüfen darf, denn dort fehlten ja durchaus mehr blaue https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_st-11er-rahmen.JPG


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  Beitrag No.2270, eingetragen 2022-04-12

Ich kann Dir den historischen Bezug der Gummibänder auch nochmal aufschreiben: zu andis Zeiten verwendeten wir den komplett offenen Ansatz lediglich die Knoten Anzahl 52 vorzugeben und nach nem 4/4er zu suchen, ohne Vorgabe der hüllenlänge oder sonst irgendwas. Einfach randommässig 52 Punkte innerhalb eines gewissen Bereiches. Damit wir diese punktwolke zu einem Einheitsgraph umformen konnten bot es sich an als erstes einen hüllpolygon drumherum zu legen und dabei war die Frage wie man das macht, und andis verbale Beschreibung war „wir schlagen einen Nagel in jeden Punkt und legen ein größeres Gummiband drumherum und wählen dann die vom Gummi berührten Nägel als hüllknoten aus“ In wirklicher programmiertechnik machte er es dann allerdings anders, er suchte den Punkt mit dem kleinsten x-wert als hüllenstartknoten erstellte dann eine Liste mit 51 Richtungen zu allen Knoten (Richtung ausgedrückt als kompasskurs) und wählte daraus den kleinsten kurs-wert bzw den dazugehörigen Knoten als nächsten hüllknoten... usw bis irgendwann nach endlich vielen durchläufen der kleinste richtungswert der zum startknoten war, womit die Hülle geschlossen war. Damit hatte der dabei entstehende hüllpolygon übrigens immer eine Richtung im Uhrzeigersinn Erst in folgenden wurde das Gummiband dann zu einheitslängen gestaucht und gezogen... und die inneren Knoten angeschlossen Ende historische Gummi Geschichte


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  Beitrag No.2271, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-12

Ach so kam es zum Gummi 😎. Ich muss heute deine letzten Beiträge erst mal durcharbeiten. Das war eine Menge Stoff auf einen Schlag. "Wir interpretieren einen 4-regulären Streichholzgraphen als Schachtelung von geschlossenen Polygonzügen um ein gemeinsames Zentrum." ...so oder ähnlich könnten wir den zugehörigen Artikel/Beweis angehen. Es bleibt das Problem, wenn Knoten 2 Mal angelaufen werden. Bei diesem fast 52er taucht das Problem sogar bereits 3 Mal beim dritten Polygon auf (schwarze Knoten), und 1 Mal beim letzten. Wir müssen also nur von Polygonzügen (PZ) sprechen. Beim 114er ist die Besonderheit, dass der innere PZ in 3 identische Teilgraphen zerfällt. Bzw. ist es eine Definitionsfrage, ob bei einem geschlossenen PZ Knoten doppelt angelaufen werden dürfen. Es kann natürlich nur ab dem dritten PZ auftreten, wirft aber das Beweiskonzept über den Haufen, oder? Denn dann wäre nichts mehr eindeutig. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_4-reg_msg_52_approx_small.png Auf die Spitze treibt es dieser fast 51er mit 7 doppelt angelaufenen Knoten. https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_51farbpolygon.png


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  Beitrag No.2272, eingetragen 2022-04-13

Interessant mit den langen blauen fjorden, dann gibt es also bei größeren Graphen doch mehr als 6 blaue Varianten, reicht blau A;B;C;D;D2;E also dann doch nicht aus, beim zweiten Beispiel gibt es blau G, Die aneinander stoßenden blauen Ecken kann ich noch nicht übersehen, wiso sollen sich zwei blau C ; D od größere nicht dort berühren? Jedenfalls ist bisher der blaue polygon noch immer eindeutig, auch wenn er bei aus mehreren 4/2ern zusammengesetzten Graphen wohl geteilt wird (s. #2263) Aber lass uns diese Probleme der Reihe nach angehen, deine Fjorde hast du bei 19er Rahmen dargestellt , und mit beweisen plagen wir uns erstmal noch beim 11er herum


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  Beitrag No.2273, eingetragen 2022-04-15

\quoteon(2016-05-08 07:38 - haribo in Beitrag No. 228) matches aussen innen a/i 168 28 56 0,50 138 27 42 0,64 126 21 42 0,50 126 22 41 0,54 126 23 40 0,58 126 24 39 0,62 120 24 36 0,67 114 21 36 0,58 104 20 32 0,63 fortsetzung der möglichen holzverteilung bei beibehaltung des verhältnisses 0,50


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  Beitrag No.2274, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-15

Also mir geht es in erster Linie um einen klaren Beweisansatz und Aufbau. Mit Graphen darstellen und Kanteneinzeichnen ist da nichts. Das dient höchstens zur Ideenfindung. Der Beweis bis zu einer bestimmten Knotenobergrenze muss absolut wasserdicht und nachvollziehbar sein. Im Moment seh ich da keinen anderen Weg, als mit Brute-Force die möglichen Rahmen zu konstruieren und die unausweichlichen Überschneidungen mittels Winkelargumenten zu zeigen.


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haribo
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  Beitrag No.2275, eingetragen 2022-04-15

Is Zehneck #2267 wasserdicht argumentiert? Also <= 20 Knoten


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Slash
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  Beitrag No.2276, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-15

\quoteon(2022-04-15 14:38 - haribo in Beitrag No. 2275) Is Zehneck #2267 wasserdicht argumentiert? Also <= 20 Knoten \quoteoff Da fehlen ja noch die weiteren Rahmenmöglichkeiten und die mögliche Flexibilität. Optisch klar, dass das nicht passen kann, aber das muss ja formalisiert werden. Meine bisherige Argumentation bis 10 Knoten war ja, alle mögliche Rahmen bilden, die ÜS freien grafisch darstellen und weiter argumentieren, dass wegen der 1er im Rahmen keine weiteren Kanten ÜS frei eingefügt werden können. Das lässt sich alles formal mit den Winkelgrößen zeigen. Wobei ich nicht weiß, ob das bereits ausreichend ist. Wäre natürlich toll, wenn wir eine Argumentationskette finden würden, die allgemeiner greift, also ohne Brute-Force. EDIT: Um es auf den Punkt zu bringen: Der Beweis muss einem Peer-Review-Prozess standhalten. Wenn wir drei der Meinung sind, einen entsprechenden Weg gefunden zu haben, würde ich diesen ein paar Kollegen wie Harborth oder Kurz vorstellen, um zu sehen, ob sie noch Lücken oder Unklarheiten entdecken.


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StefanVogel
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  Beitrag No.2277, eingetragen 2022-04-16

\quoteon(2022-04-10 07:30 - StefanVogel in Beitrag No. 2262) Keine Überschneidung mehr, allerdings hat die Summenfunktion mit 18369 wieder einen größeren Wert als bei der vorhergehenden Lösung. Das zeigt, dass sie nicht so gut geeignet ist. Die muss irgendwie so gebildet werden, dass bei Überschneidungen (ein oder wenige Außenwinkel größer 60°) ein wesentlich größeres Ergebnis herauskommt im Vergleich dazu, dass Überschneidungen vermieden werden (viele Außenwinkel knapp unter 60°). \quoteoff Als Summenfunktion hatte ich Summe (Außenwinkel)p verwendet mit p=2. Duch Vergrößern von p wollte ich erreichen, daß wenige Außenwinkel größer 60° einen stärkeren Einfluss auf die Summe haben als viele Außenwinkel knapp unter 60°. Für p gegen Unendlich würde das dann in das Maximum der Außenwinkel übergehen, was auch nicht funktioniert. Denn wenn sich das Maximum bei einem einstellbaren Winkel befindet, kann es sein, daß Veränderungen der anderen einstellbaren Winkel keine Veränderung des Maximums bewirkt und die Suche würde an der Stelle enden. Deshalb versuche ich jetzt als "Summenfunktion" die absteigend sortierte Liste der Außenwinkel und deren Aneinanderreihung als "Zeichenketten"-Summe. Die neue Programmversion in Streichholzgraph-2216.html enthält jetzt einen Button "Rahmen erzeugen" (rechts neben Button "Kaleidoskop"). Nach Anklicken erscheint darunter ein Eingabefeld "R(...)", wo man die gewünschten Längen der Rahmenstücke eintragen kann, etwa "R(3,1,1,1,2,1,2,1)". Nach Eingabe von Taste "Enter" wird der Rahmen in der Anfangsvariante mit den Eckpunkten auf dem Umkreis gezeichnet. $ %Eingabe war: % %Anfang für einen neuen, noch unbenannten Streichholzgraph % % % % %P[1]=[0,0]; P[2]=[50,0]; D=ab(1,2); A(2,1,Bew(1)); % % % % % % % %Ende der Eingabe. \begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize] \draw[blue!50] (1.9589,1.33) circle (2.009); %Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0); \foreach \i/\x/\y in { 1/0.45895971246548300515/0.00000000000000000000, 2/1.45895971246548294964/0.00000000000000000000, 3/0.95895971246548294964/0.86602540378443859659, 4/1.95895971246548294964/0.86602540378443859659, 5/2.45895971246548317168/0.00000000000000000000, 6/2.95895971246548317168/0.86602540378443859659, 7/3.45895971246548317168/0.00000000000000000000, 8/0.99890625735906157789/0.84169931012059562292, 9/0.00000000000000000000/0.88845707962377173939, 10/0.87881711266196527177/1.36561583988338020035, 11/0.02617694830787314561/1.88811440459932899927, 12/1.02616135193652135982/1.88252938002850078725, 13/0.53100592328129481157/2.75133378924455618275, 14/1.24339951813133398062/2.04955364844785448142, 15/1.49496215050767800037/3.01739466947965828680, 16/2.20735574535771705840/2.31561452868295658547, 17/2.45891837773406152223/3.28345554971476083495, 18/2.47968630265208833663/2.28367122632566132978, 19/3.33514096255347158859/2.80154893858311027088, 20/2.65244625493919095049/2.07084521189530157415, 21/3.62660159869793519150/1.84496611541604926821, 22/2.94390689108365499749/1.11426238872824012738, 23/3.91806223484239923849/0.88838329224898837655, 24/2.91914847426866153057/0.84178609344441723827} \coordinate (p-\i) at (\x,\y); %Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle; %gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle; %Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2); \foreach \i/\j in { 2/1, 3/1, 3/2, 4/3, 4/2, 5/4, 5/2, 6/4, 6/5, 7/6, 7/5, 7/23, 8/1, 9/1, 9/8, 10/9, 11/9, 11/10, 12/11, 13/11, 13/12, 14/13, 15/13, 15/14, 16/15, 16/14, 17/15, 17/16, 18/17, 19/17, 19/18, 19/21, 20/21, 20/19, 21/23, 22/23, 22/21, 22/20, 24/7, 24/23} \draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j); %Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt) \foreach \i in {1,...,24} \fill[red] (p-\i) circle (1.125pt); %einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2); %nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2); %Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm); %Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1}; \foreach \i/\a in { 1/211, 2/330, 3/90, 4/150, 5/330, 6/90, 7/334, 8/27, 9/239, 10/359, 11/210, 12/330, 13/90, 14/285, 15/105, 16/345, 17/45, 18/241, 19/1, 20/137, 21/317, 22/257, 23/33, 24/153} \node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i}; \end{tikzpicture} $ Unter dem Eingabefeld steht die Liste der absteigend sortierten Außenwinkel 62.6800000000+62.6707899378+44.2746324895+44.2500000000+44.2445775727+44.2400000000+28.8200000000+28.8200000000 Mit Button "Starten" rechts neben dem Eingabefeld wird die Suche nach einem Rahmen ohne Überschneidung gestartet, durch Variieren aller einstellbaren Winkel im Variationsbereich von -0.01° bis +0.01° in 0.01° Schritten. Die Suche dauert entsprechend lange. Mit den Buttons "Anhalten" und "Fortsetzen" kann man die Suche zwischenzeitlich unterbrechen. Irgendwann hält die Suche automatisch an, wenn keine Verbesserung mehr gefunden wird. Dann kann man mit Button "Fortsetzen" nochmal im Variationsbereich von -0.02° bis 0.02° fortsetzen. Das geht dann aber noch langsamer voran und findet auch noch nicht die optimale Lösung. Button "Schließen" beendet die Suche. $ %Eingabe war: % %Anfang für einen neuen, noch unbenannten Streichholzgraph % % % % % % % % %P[1]=[0,0]; P[9]=[-30.38265528646457,39.71012789886059]; D=ab(1,9); A(9,1); L(8,9,1); M(11,9,1,blauerWinkel); L(10,11,9); M(13,11,9,gruenerWinkel); L(12,13,11); M(15,13,11,orangerWinkel); L(14,15,13); L(16,15,14); L(17,15,16); M(19,17,15,vierterWinkel); L(18,19,17); M(21,19,17,fuenfterWinkel); L(20,21,19); L(22,21,20); L(23,21,22); Q(7,23,1,1*D,3*D); A(7,1); H(2,1,7,3); A(2,1); L(3,1,2); L(24,7,23); H(5,1,7,3/2); A(2,5); L(4,2,5); A(3,4); A(5,7); L(6,5,7); A(4,6); % % %Ende der Eingabe. \begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize] \definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00} \definecolor{Green}{rgb}{0.00,0.50,0.00} \definecolor{Orange}{rgb}{1.00,0.64,0.00} \definecolor{Teal}{rgb}{0.00,0.50,0.50} \definecolor{Violet}{rgb}{0.93,0.51,0.93} %Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0); \foreach \i/\x/\y in { 1/0.60765310572929143174/0.00000000000000000000, 2/1.60765310572929132071/0.00000000000000307902, 3/1.10765310572928865618/0.86602540378444015090, 4/2.10765310572928887822/0.86602540378444325953, 5/2.60765310572929154276/0.00000000000000615804, 6/3.10765310572928932231/0.86602540378444625713, 7/3.60765310572929154276/0.00000000000000923706, 8/0.99162614382349456577/0.92334430523868360474, 9/0.00000000000000000000/0.79420255797721184265, 10/0.96664481822850578663/1.05032322366426389415, 11/0.26151540619508445440/1.75940185984321484369, 12/1.25724010437966771114/1.66703127239666581971, 13/0.83937303057857948207/2.57553944992338257336, 14/1.55127651689915135869/1.87326213563463506162, 15/1.80351476841442859289/2.84092729697533163957, 16/2.51541825473500058052/2.13864998268658457192, 17/2.76765650625027781473/3.10631514402728159396, 18/2.89922086534256795431/2.11500751295777567051, 19/3.69193627726798689892/2.72459940569906944319, 20/2.98689947735051308797/2.01542868523598706076, 21/3.95357773685039193268/1.75943426613610931497, 22/3.24854093693291812173/1.05026354567302693255, 23/4.21521919643279741052/0.79426912657314940880, 24/3.22357891002702734440/0.92330223231381580717} \coordinate (p-\i) at (\x,\y); %Innenflächen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle; %gefüllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle; \foreach \i/\a/\b/\r/\c in { 9/307.42/434.84/0.4/Blue, 11/254.84/414.70/0.4/Green, 13/234.70/375.39/0.4/Orange, 17/195.39/337.56/0.4/Violet, 19/157.56/285.17/0.4/Teal} \fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle; %Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2); \foreach \i/\j in { 2/1, 2/5, 3/1, 3/2, 3/4, 4/2, 4/5, 4/6, 5/7, 6/5, 6/7, 7/23, 8/9, 8/1, 9/1, 10/11, 10/9, 11/9, 12/13, 12/11, 13/11, 14/15, 14/13, 15/13, 16/15, 16/14, 17/15, 17/16, 18/19, 18/17, 19/17, 20/21, 20/19, 21/19, 22/21, 22/20, 23/21, 23/22, 24/7, 24/23} \draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j); %Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt) \foreach \i in {1,...,24} \fill[red] (p-\i) circle (1.125pt); %einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2); %nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2); %Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm); \foreach \i/\a/\b/\r/\c in { 9/307.42/434.84/0.4/Blue, 11/254.84/414.70/0.4/Green, 13/234.70/375.39/0.4/Orange, 17/195.39/337.56/0.4/Violet, 19/157.56/285.17/0.4/Teal} { \draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm); \fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i); } %Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1}; \foreach \i/\a in { 1/210, 2/330, 3/150, 4/30, 5/270, 6/30, 7/263, 8/37, 9/157, 10/345, 11/105, 12/325, 13/85, 14/285, 15/45, 16/345, 17/45, 18/248, 19/8, 20/135, 21/15, 22/195, 23/23, 24/143} \node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i}; \end{tikzpicture} $ Außenwinkel absteigend sortiert: 52.5862772208+52.5812056430+52.5800000000+52.5800000000+52.3925171362+39.3100000000+37.8300000000+20.1400000000


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  Beitrag No.2278, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-16

Moin Stefan, besten Dank für diese neue Funktion! 🙂 Nach Vergrößerung "A+E" lässt sich der Suchvorgang schön beobachten. Ließe sich der Suchvorgang beschleunigen, indem man in 0.1° oder sogar in 1° Schritten suchen lässt?


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StefanVogel
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  Beitrag No.2279, eingetragen 2022-04-16

Für den einen Graph R(3,1,1,1,2,1,2,1) scheint es zu funktionieren. Da mache ich noch ein zusätzliches Eingabefeld für diese Schrittweite. Bis dahin kannst du auch selber noch probieren, ersetze die Programmzeilen \sourceon nameDerSprache 10835 if (teil[t]==1) v[t]=(v0[t]*100+1)/100; 10836 if (teil[t]==2) v[t]=(v0[t]*100-1)/100; \sourceoff durch \sourceon nameDerSprache 10835 if (teil[t]==1) v[t]=v0[t]+0.1; 10836 if (teil[t]==2) v[t]=v0[t]-0.1; \sourceoff oder anstelle der 0.1 irgendeine andere Zahl. Da war ich mit der 0.01 wohl zu vorsichtig. EDIT: Programm ist geändert, nun ist die Ausgabe "Variation=±0.1" ein Inputbereich und daneben "Unterteilung=1" auch. Da kann man vor "Starten" und nach "Anhalten" andere Werte einsetzen. Variation bezeichnet jetzt den maximalen Bereich und mit "Unterteilung=1" kann man noch Zwischenschritte einfügen. Also bei blauerWinkel=40° bedeutet "Variation=±0.1" mit "Unterteilung=1" die Suche in den Varianten 39.9°, 40.0° 40.1° und bei "Unterteilung=2" dann 39.9°, 39.95°, 40.0°, 40.05°, 40.1°


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