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  Tensorfelder Pullback |
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BrotherTuck
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Wohnort: Karlsruhe
 |  Themenstart: 2016-03-05
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Hallo,
folgendes Problem habe ich beim Verstädnnis von Tensorfeldern:
Seien M, N glatte Mannigfaltigkeiten und $S\in T^0_s(M)$ sowie $\Phi:N\to M$ eine glatte Abbildung.
Bezeichne $V(M)$ die Menge der Vektorfelder auf $M$. Wir haben in der Vorlesung gezeigt, und das verstehe ich auch, dass die $S\in T^r_s(M)$ gerade die Abbildungen
$S:V(M)\times ... \times V(M)\to C^{\infty}(M,\mathbb{R}) $.
Jetzt wende ich den Pullback $\Phi^{*}$ auf $S$ an und erhalte nach der Vorlesung
$\Phi^{*}S: V(N)\times ... \times V(N)\to C^{\infty}(N,\mathbb{R}) $
mit $\Phi^{*}S(X_1,...,X_s)=S(\Phi_{*}X_1,..,\Phi_{*}X_s)$.
Jetzt ist mir nicht klar, wie ich diesen Ausdruck als $C^{\infty}(N,\mathbb{R})$ interpretieren soll. Wenn ich $p\in N$ einsetze, sollte ja sowas wie $S_p((\Phi_{*}X_1)_p,..,(\Phi_{*}X_s)_p)$ rauskommen. Da aber $S$ ein Schnitt mit Argumenten aus M ist, wüsste ich nicht, wie das ausgewertet werden sollte. Oder werte ich das eigentlich so aus:
$\Phi^{*}S(X_1,...,X_s)(p)=S_{\Phi(p)}((\Phi_{*}X_1)_{\Phi(p)},..,(\Phi_{*}X_s)_{\Phi(p)})$?
Ich bin dankbar für jeden Gedankenanstoß!
Grüße!
PS: $\Phi_{*}:TN\to TM$ ist das Differential von $\Phi$.
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RoPro
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-03-05
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Hallo BrotherTuck,
\quoteon(2016-03-05 10:55 - BrotherTuck im Themenstart)
... dass die $S\in T^r_s(M)$ gerade die Abbildungen...
\quoteoff
Hier sollte $r=0$ sein. Und man sollte vielleicht "multilinear" dazusagen, aber das ist dir vermutlich bewusst.
\quoteon(2016-03-05 10:55 - BrotherTuck im Themenstart)
Oder werte ich das eigentlich so aus:
$\Phi^{*}S(X_1,...,X_s)(p)=S_{\Phi(p)}((\Phi_{*}X_1)_{\Phi(p)},..,(\Phi_{*}X_s)_{\Phi(p)})$?
\quoteoff
Ganz genau.
PS: "..." erzeugt man in Latex am besten mit \dots.
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BrotherTuck
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-06
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Ouh ja, natürlich $r=0$ und multilinear war mir bekannt!
Jetzt habe ich noch eine weitere Frage, wenn $r\neq 0$. Dann ist $S\in T_s^r M$ gerade eine Abbildung
$S:V^{*}M\times \hdots\times V^{*}M\times VM\times\hdots \times VM\to C^{\infty}(M,\mathbb{R})$
Jetzt hatten wir in der Vorlesung die Darstellung
$S=X_1\otimes\hdots\otimes X_r\otimes v_1\otimes\hdots\otimes v_s$ für $X_i\in TM$ und $v_i\in T^{*}M$.
Jetzt wende ich $S$ auf $(\eta_1,\hdots,\eta_r,Y_1,\hdots,Y_s)\in V^{*}M\times \hdots\times V^{*}M\times VM\times\hdots \times VM)$ an und erhalte laut der Vorlesung
$S(\eta_1,\hdots,\eta_r,Y_1,\hdots,Y_s)=\eta_1(X_1)\cdot\hdots\cdot \eta_r(X_r)\cdot v_1(Y_1)\cdot\hdots\cdot v_s(Y_s)$.
ich verstehe jetzt nicht, wie die Terme $\eta_i(X_i)$ zustande kommen. Wenn ich S in Lokalkoordinaten darstelle, erhalte ich dann Terme wie $\frac{\partial}{\partial x^i}(dx^i)$, wobei die Basisvektoren von $TM$ die $\frac{\partial}{\partial x^i}$ und die Basisvektoren von $T^{*}M$ die $dx^i$ sind.
$\frac{\partial}{\partial x^i}(dx^i)$ kann ich ja aber nicht auswerten und müsste vertauschen zu $dx^i\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)$ um die Terme $\eta_i(X_i)$ zu erhalten.
Kannst du mir da weiterhelfen? Ich hatte mir schon überlegt, dass ich vielleicht irgendetwas über Formen verwenden muss, weil ja $dx^i$ 1-Formen sind, aber zum vertauschen bräuchte ich eine 0-Form, wegen
$df\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)=\frac{\partial}{\partial x^i}(f)$.
Vielen Dank auf jeden Fall für die Hilfe :)
Grüße!
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RoPro
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| Beitrag No.3, eingetragen 2016-03-06
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Was hier verwendet wird, ist, dass der Bidualraum $V^{**}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ kanonisch isomorph zum Vektorraum $V$ selbst ist, via
$\displaystyle V\to V^{**},v\mapsto \iota_v:=[\lambda\mapsto \lambda(v)]$.
Das erlaubt es überhaupt erst den kontravarianten Teil des Vektorfeldes als multilineare Abbildung auf dem Kotangentialraum wirken zu lassen.
Missbräuchlicherweise schreibt man aufgrund der kanonischen Isomorphie für das obige $\iota_v$, definiert durch $\iota_v(\lambda)=\lambda(v)$, auch einfach $v$, also dann $v(\lambda)=\lambda(v)$ (hier ist $\lambda\in V^*$).
Mit dieser Notation ergibt $\frac{\partial}{\partial x_i}(\mathrm{d}x_i)$ dann auch Sinn, denn man identifiziert $\frac{\partial}{\partial x_i}$ mit $\iota_{\frac{\partial}{\partial x_i}}$.
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BrotherTuck
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-06
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Achsoo!
Vielen Dank! Das macht die Sache natürlich erheblich einfacher. Ein kurzer Kommentar in der Vorlesung hätte mir sicher einiges an Arbeit erspart.
Grüße!
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BrotherTuck hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
BrotherTuck hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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