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 Differential einer 1-Form |
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BrotherTuck
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.03.2013
Mitteilungen: 646
Wohnort: Karlsruhe
 |  Themenstart: 2016-03-06
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Hallo,
ich versuche mir gerade klar zu machen, wieso für $X,Y$ Vektorfelder auf einer Mannigfaltigkeit M gilt, dass das Differential einer 1-Form $\omega$, bezeichnet mit $\mathrm{d}\omega$, folgende Form hat:
$\mathrm{d}\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])$
$[X,Y]=XY-YX$ bezeichne dabei die Lie-Klammer.
Mit Lokalkoordinaten kann ich die 1-Form schreiben als:
$\omega=\displaystyle\sum_i f_i \mathrm{d}x^i$ mit $f_i\in C^{\infty}(M,\mathbb{R})$
und damit erhalte ich für den letzten Term $\omega([X,Y])$ auch
$\omega([X,Y])=\displaystyle\sum_i f_i \mathrm{d}x^i(XY-YX)$.
Damit weis ich jetzt leider garnichts anzufangen und auch die obige Gleichung erstmal für das bessere Verständnis nach $\omega([X,Y])$ umzuformen hat mir herzlich wenig gebracht, denn dann erhalte ich
$\omega([X,Y])=\displaystyle\sum_i df_i(X)\cdot\mathrm{d}x^i(Y)- df_i(Y)\cdot\mathrm{d}x^i(X)+Y(f_i \mathrm{d}x^i(X))-X(f_i \mathrm{d}x^i(Y))$
$=\displaystyle\sum_i f_i (Y \mathrm{d}x_i(X)-X\mathrm{d}x_i(Y))$. (1)
Das zu $\displaystyle\sum_i f_i \mathrm{d}x^i(XY-YX)$ umzuformen ist mir aber nicht gelungen...
Welche Konstruktion muss ich hier verwenden bzw. was passiert durch $\mathrm{d}x^i(XY-YX)$?
Grüße!
PS: Geistesblitz! Zeile (1) wurde durch Verwendung der Produktregel für $X$ und $Y$ hergeleitet.
Wieso gilt
$\mathrm{d}x^i(XY-YX)=Y \mathrm{d}x_i(X)-X\mathrm{d}x_i(Y)$?
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Ehemaliges_Mitglied
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-03-06
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Hi BrotherTuck!
Schau mal hier:
http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic1048774.files/132bookrevised2011.pdf , Seite 61 (Curvature in Mathematics and Physics von Shlomo Sternberg)
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BrotherTuck
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Dabei seit: 21.03.2013
Mitteilungen: 646
Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-14
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Hallo,
danke für die Antwort. Ich hab jetzt einige Zeit gebraucht um mir klar zu machen, was das bedeuten soll. Soweit mein Verständnis:
in meinem Fall betrachte ich $dx^i(XY-YX)=dx^i([X,Y])$, wobei $X,Y$ Vektorfelder auf M sind. Jetzt betrachte ich nur $dx^i(X(Y))$ und definiere
$k:V(M)\times V(M)\to V(M)$ über $k(X,Y)(p)=X_p(Y_p(.))$.
Dann ist $dx^i(X(Y))=dx^i(k(X,Y))$. Wäre, meiner Ansicht nach, jetzt $dx^i(k(X,Y))$ in beiden Komponenten $C^{\infty}(M)$-linear, so würde $dx^i(k(X,Y))$ eine 2-Form definieren und mit dem "interior product" könnte ich dann $\iota(Y)dx^i(X)=dx^i(k(X,Y))$ setzen und mein Problem wäre nach Identifikation von $Y$ mit $\iota(Y)$ geklärt.
$dx^i(k(X,Y))$ ist aber in $Y$ nicht $C^{\infty}(M)$-linear, sodass es keine 2-Form ist.
Waren meine Überlegungen soweit schonmal richtig? Und welche Schritte kann ich jetzt machen?
Grüße!
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Halvar
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Mitteilungen: 27
| Beitrag No.3, eingetragen 2016-03-23
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Hey,
setze auf beiden Seiten ein beliebiges $m\in M$ ein und rechne das aus. Es gilt
$d\omega (X,Y)(m)=d\left(\sum f_idx_i\right)(X,Y)(m)=\sum df_i\wedge dx_i(X_m,Y_m)=\sum df_i(X_m)dx_i(Y_m)-df_i(Y_m)dx_i(X_m)=\sum X_m(f_i)Y_m(x_i)-X_m(x_i)Y_m(f_i) $
Habe hier die Formel 2.10b) aus dem Warner benutzt um das Wedge-Produkt auszurechnen und die Definition von d auf Formen aus Abschnitt 2.20.
Auf der rechten Seite gilt:
$X(\omega(Y))(m)=\sum X_m(f_idx_i(Y))=\sum X_m(f_iY(x_i))=\sum f_i(m)X_m(Y(x_i))-X_m(f_i)Y_m(x_i)$
Genauso $Y(\omega(X))(m)$
$\omega([X,Y])(m)=\sum f_i(m)dx_i([X,Y]_m)=\sum f_i(m)[X,Y]_m(x_i)=\sum f_i(m)(X_m(Y(x_i))-Y_m(X(x_i)))$
Wenn du das zusammenrechnest kommst du auf den Term der linken Seite. Hoffe das hilft.
Gruß Alex
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Galois_1993
Senior
Dabei seit: 04.12.2014
Mitteilungen: 820
 | Beitrag No.4, eingetragen 2016-03-23
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Ich antworte mal ganz kurz ohne irgendwelche längeren Rechnungen (denn diese solltet ihr eigentlich in der Differentialgeometrie-I-Vorlesung gemacht haben).
Das $x: U \to x(U)$, $U\subset M$ offen, ist eine Kartenabbildung, also sind die $x^i$ (oder auch $x_i$) glatte Abbildungen $x^i: U \to \mathbb{R} \in \mathcal{F}(U)$, und für solche Abbildungen gilt nun $dx^i(X)=X(x^i)$ für ein Vektorfeld $X \in \mathcal{V}(U)$ auf $U$ (so ist das Differential bzw. die 1-Form definiert). Das heißt $dx^i(X)$ ist eine glatte Abbildung $U \to \mathbb{R}$ mit $(dx^i(X))(p)=dx^i_p(X_p)$.
Hiermit folgt nun direkt: $Ydx_i(X)=YX(x_i)=dx_i(YX)$, analog für $Xdx_i(Y)$. Damit erhält man dann $Ydx_i(X)-Xdx_i(Y)=dx_i(YX-XY)=dx_i[X,Y]$ mit der Lie-Klammer $[X,Y]=XY-YX$, wobei ausgenutzt wurde, dass $dx_i$ linear ist.
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