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| Autor |
  Theorema egregium von Gauss |
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PhilippWehrli
Senior 
Dabei seit: 14.06.2004
Mitteilungen: 592
Wohnort: Zürich, Schweiz
 |  Themenstart: 2016-04-03
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Ich versuche die philosophische Bedeutung des Theorem Egregium von Gauss in allgemeinverständlichen Worten zusammen zu fassen. Kann man das etwa so formulieren:
Gauss war überzeugt, dass er hier etwas wirklich Bedeutendes vom Raum verstanden hatte. Nämlich:
1. Gekrümmte Räume sind zwar rechnerisch schwierig zu handhaben. Sie sind aber aus mathematischer Sicht elementarer und fundamentaler als der flache Raum.
2. Um eine Krümmung zu definieren, um also festzulegen, wie ein Raum gekrümmt ist, ist kein Aussenraum nötig. Wenn ein Plattwurm auf einer gekrümmten Ebene umher kriecht und nichts vom Rest der Welt wahrnimmt, kann er doch feststellen, dass die Ebene gekrümmt ist.
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 Profil
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Galois_1993
Senior 
Dabei seit: 04.12.2014
Mitteilungen: 820
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-04-07
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Zu 1: Richtig, gekrümmte Räume sind viel komplizierter als flache Räume, aber auch viel interessanter und fundamentaler. Fundamental in dem Sinne, dass sie von enormer Wichtigkeit in der Physik sind (und natürlich auch in der Mathematik, die sich grundlegend mit solchen Objekten beschäftigt) - siehe zB. Calabi-Yau-Mannigfalgtigkeiten, allgemein Kähler-Mannifgaltigkeiten, die gekrümmte Raum-Zeit, etc.
Zu 2: Richtig. Das Theorem sagt letztlich aus, dass die Gauß-Krümmung eine Eigenschaft der inneren Geometrie der Mannigfaltigkeit ist. Sie hängt explizit nur von der ersten Fundamentalform ab (und ihren Differentialen bis zur zweiten Ordnung) und die erste Fundamentalform ist lokal durch Skalarprodukte und partielle Ableitungen von Kurven auf der Fläche gegeben. Das heißt, durch Längenmessungen innerhalb der Fläche lässt sich die erste Fundamentalform (und damit die Gauß-Krümmung) berechnen, es sind also keine Messungen außerhalb der Fläche ("von außen") nötig.
Wenn du dich zB. auf einer (genügend großen) Kugel bewegst, so würdest du anfangs sicherlich niemals drauf kommen, dass du dich auf einer Kugel und nicht in einer Ebene befindest. Durch Längenmessungen kannst du aber die Gaußkrümmung (in jedem Punkt) bestimmen und siehst dann, dass es keine Ebene sein kann.
Wir befinden uns zB. auch in der Raumzeit (ein gekrümmter vierdimensionaler Raum): Wer hätte das gedacht, wo doch alles so dreidimensional aussieht? Und Einstein konnte dann eben zeigen, dass wir uns nicht in einem (flachen) dreidimensionalen Raum befinden (siehe Relativitätstheorie).
Hierzu kann man noch viel mehr erzählen, zB. dass es bis auf isometrischer Isomorphie nur drei Riemannsche Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung gibt, die einfach-zusammenhängend und (geodätisch) vollständig sind, (hyperbolischer Raum, Sphäre und der euklidische Raum) und ganz ähnliche Sachen, aber davon habe ich zu wenig Ahnung und auch geht es weit über deine Frage hinaus.
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Profil
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PhilippWehrli
Senior
Dabei seit: 14.06.2004
Mitteilungen: 592
Wohnort: Zürich, Schweiz
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-16
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Ehemaliges_Mitglied
 | Beitrag No.3, eingetragen 2016-04-16
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Bitte bachtet, daß das theorema egregium an sich nur für Ebenen (also zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten), eingebettet in den R³ gültig ist!
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PhilippWehrli hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
PhilippWehrli hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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