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 Paarweise verschieden? |
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Evariste0
Junior 
Dabei seit: 29.03.2016
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2016-04-22
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Hallo,
in Lineare Algebra 2 haben wir folgende Übungsaufgabe erhalten.
Wir betrachten fünf natürliche Zahlen $ 1 \le a,b,c,d,e \in \mathds{N}$
Es sei bekannt, dass die Summe je drei der Zahlen durch die Summe der restlichen beiden Zahlen teilbar ist. Können die Zahlen $a,b,c,d,e$ paarweise verschieden sein?
Meine Gedanken dazu:
Ich gehe davon aus, dass die Zahlen nicht paarweise verschieden sein können und möchte das mit einem Widerspruchsbeweis zeigen.
(Ist dieser Ansatz überhaupt sinnvoll?)
Wenn ich annehme, dass die Zahlen paarweise verschieden sind, dann kann ich sie der Größe nach ordnen. Dann wäre $a
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 Profil
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3875
Wohnort: der Nähe von Schwerin
|  Beitrag No.1, eingetragen 2016-04-22
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Hi. Hier hilfe es abzuschaetzen.
Man kann es so machen, wie du sagst-
Sei $a< b< c< d< e$ und weiter gelte $d+e|a+b+c$, dann wissen wir, dass $d+e\leq a+b+c$. Nun ist aber $d+e>2d$ und $3d>a+b+c$, dann folgt $1\leq\frac{a+b+c}{d+e}<\frac 3 2$ und diese Zahl muss eine gnze Zahl sein. StrgAltEntf hat es schon weiter unten geschrieben.
Hier kannst du weiter machen.
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7280
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.2, eingetragen 2016-04-22
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Hallo Evariste0,
\quoteon
Meine Gedanken dazu:
Ich gehe davon aus, dass die Zahlen nicht paarweise verschieden sein können und möchte das mit einem Widerspruchsbeweis zeigen.
(Ist dieser Ansatz überhaupt sinnvoll?)
\quoteoff
Normalsprachlich kannst Du wohl davon ausgehen, dass die Zahlen nicht paarweise verschieden sein können, sonst wäre die Aufgabe ja nicht so gestellt.
Mathematisch fachsprachlich musst Du natürlich von der Annahme ausgehen, dass die Zahlen paarweise verschieden sind und diese Annahme zum Widerspruch führen.
Zu dem Ansatz von ochen musst Du noch eine zweite Kombination betrachten ...
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8460
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.3, eingetragen 2016-04-22
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\quoteon(2016-04-22 11:05 - Evariste0 im Themenstart)
$y*(d+e)=c+a+b$
\quoteoff
Hier ist recht leicht zu zeigem, dass y=1 gelten muss.
Gruß
StrgAltEntf
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Evariste0
Junior
Dabei seit: 29.03.2016
Mitteilungen: 7
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-25
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Dank eurer Hilfe konnte ich die Aufgabe noch rechtzeitig lösen.
Habe gezeigt, dass $a+b+c=d+e$ und $a+b>c$ und dass $a+b$ dann kein Teiler von $c+d+e$ ist (was einen Widerspruch zu den Vorraussetzungen darstellt).
Vielen Dank für die sehr gute Hilfe.
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Evariste0 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Evariste0 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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