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Strukturen und Algebra » Ringe » Erweiterung Ringhomomorphismus
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Universität/Hochschule J Erweiterung Ringhomomorphismus
yann
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  Themenstart: 2016-05-27

Hallo, Sei R ein Ring und p \subset R ein Primideal. Zeige, dass man jeden Hom. \phi : R->K (K Körper) zu einem Hom. R_p -> K fortsetzen kann. R_p bezeichnet dabei die Lokalisierung von R an p. Vielleicht kann man hier einfach die Universelle Eigenschaft anwenden. Zu zeigen ist dann ja nur, dass \phi (R ohne p) invertierbar in K ist. Also nicht im Kern liegt....weiss aber nicht weiter.


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-05-27

Die Behauptung ist $\phi(R \setminus p) \subseteq K^{\times}=K \setminus \{0\} \Leftrightarrow R \setminus p \subseteq R \setminus \ker(\phi) \Leftrightarrow \ker(\phi) \subseteq p$. Über $\ker(\phi)$ ist nichts weiter bekannt außer, dass es ein Primideal ist. Die Behauptung ist daher in der Regel falsch. Wenn zum Beispiel $p=0$, also $R$ ein Integritätsring ist und es irgendein Primideal $q \neq 0$ in $R$ gibt (z.B. $R=\mathbb{Z}$), dann besitzt der natürliche Homomorphismus $\phi : R \twoheadrightarrow R/q \hookrightarrow Quot(R/q)$ keine Fortsetzung auf $R_0 = Quot(R)$.


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yann
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-28

Die allgemeine Behauptung, also die Existenz einer Fortsetzung auf R_p ist hoffentlich richtig. Wie würde man da dann vorgehen? Mir ist dazu nichts anderes eingefallen oben.


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kurtg
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  Beitrag No.3, eingetragen 2016-05-28

Soll der Ringhomomorphismus vielleicht injektiv sein?


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2016-05-28

\quoteon(2016-05-28 09:46 - yann in Beitrag No. 2) Die allgemeine Behauptung, also die Existenz einer Fortsetzung auf R_p ist hoffentlich richtig. \quoteoff Nein. Siehe Beitrag 1.


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2016-05-28

\quoteon(2016-05-28 09:51 - kurtg in Beitrag No. 3) Soll der Ringhomomorphismus vielleicht injektiv sein? \quoteoff Dann gibt es natürlich keine Probleme, wie man etwa anhand meiner Umformulierung $\ker(\phi) \subseteq p$ der Fortsetzbarkeit sieht.


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yann
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-29

\quoteon(2016-05-28 09:51 - kurtg in Beitrag No. 3) Soll der Ringhomomorphismus vielleicht injektiv sein? \quoteoff Die Aufgabe ist so formuliert: Let R be a ring and p a prime ideal of R. Show that every homomorphism R -> K from R in a field K can be extended to a homomorphism Rp -> K Dann werde ich den Professor mal dazu fragen.


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yann
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-31

Die Aufgabe wurde korrigiert, der Kern musste in p enthalten sein. Damit geht die Aufgabe direkt wie oben besprochen.


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yann
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-31

Ich merke gerade, dass ich an Teil b) auch nicht richtig weiterkomme. Originallaut der Aufgabe: Sei R ein lokaler Ring und S eine ganze Erweiterung von R. Zeige, dass jeder Homomorphismus $\phi : R \rightarrow K $ von R in einen algebraisch abgeschlossenen Körper K eine Fortsetzung $S\rightarrow K.$ besitzt. Man soll dazu a) verwenden. Was man natürlich zunächst machen könnte, ist, die Lokalisierung an $p:=ker(\phi)$ zu betrachten und mit a) erhält man die Fortsetzung auf $R_p$...komme aber an dem Punkt nicht weiter.


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Triceratops
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  Beitrag No.9, eingetragen 2016-05-31

Man braucht nicht, dass $R$ lokal ist. Die Aussage gilt für beliebige ganze Erweiterungen $R \hookrightarrow S$ kommutativer Ringe. Außerdem braucht man meiner Ansicht nach a) nicht – zumal Lokalisierungen eher selten ganze Erweiterungen sind. Betrachte das Primideal $\mathfrak{p} = \ker(R \to K)$ von $R$. "Going-Up" liefert ein Primideal $\mathfrak{q} \subseteq S$ mit $\mathfrak{q} \cap R = \mathfrak{p}$. Dann hat man eine Einbettung $R/\mathfrak{p} \hookrightarrow S/\mathfrak{q}$ und damit auch eine Einbettung $Quot(R/\mathfrak{p}) \hookrightarrow Quot(S/\mathfrak{q})$. Diese ist algebraisch. Aus einem Ergebnis der Körpertheorie (siehe unten) folgt nun, dass sich der von $R \to K$ induzierte Homomorphismus $Quot(R/\mathfrak{p}) \to K$ zu einem Homomorphismus $Quot(S/\mathfrak{q}) \to K$ fortsetzt. Vorschalten mit $S \twoheadrightarrow S/\mathfrak{q} \hookrightarrow Quot(S/\mathfrak{q})$ liefert nun die gewünschte Fortsetzung $S \to K$ von $R \to K$. Der Übersichtlichkeit halber: $\begin{tikzcd}[row sep=5pt] R \ar{dd} \ar{r} & R/\mathfrak{p} \ar{dd} \ar{r} & Quot(R/\mathfrak{p}) \ar{dd} \ar{dr} & \\ &&& K \\ S \ar{r} & S/\mathfrak{q} \ar{r} & Quot(S/\mathfrak{q}) \ar[dashed]{ur} & \end{tikzcd}$ Fakt: Sei $E \hookrightarrow F$ eine algebraische Körpererweiterung und $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Dann besitzt jeder Homomorphismus $E \to K$ eine Fortsetzung zu einem Homomorphismus $F \to K$. $\begin{tikzcd}[row sep=5pt] E \ar{dd} \ar{dr} & \\ & K \\ F \ar[dashed]{ur} & \end{tikzcd}$ (siehe etwa Bosch, Algebra, Abschnitt 3.4, Satz 9.) Beachte, dass dieser Fakt genau der Spezialfall der zu zeigenden Behauptung ist, in dem $R$ ein Körper ist.


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