Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel
Autor
Universität/Hochschule J Holomorphe Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel
targon
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
  Themenstart: 2016-10-15

Hallo miteinander, in mehreren Skripten bin ich in letzter Zeit auf die Aussage gestoßen, dass holomorphe Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel, also der Einpunktkompaktifizierung von $\mathbb{C}$, $\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \bigcup \{ \infty \}$, immer Rationale Funktionen, also Funktionen der Form $R(z)=\frac{p(z)}{q(z)} \text{ mit } p,q$ Polynomen sind. Eine Erklärung dazu oder gar einen Beweis habe ich aber nirgends gefunden. Weiß da jemand genaueres? Vielen Dank schonmal im Voraus und schönen Gruß, Targon


   Profil
AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3563
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
  Beitrag No.1, eingetragen 2016-10-15

Huhu targon, eine holomorphe Abbildung $f$, die auf der gesamten Zahlenkugel $\mathcal{R} := \mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ definiert ist, ist sogar konstant, denn: $\mathcal{R}$ ist kompakt, daher nimmt $f$ und auch $| f |$ ein Maximum an. Also ist insbesondere $f |_{\mathbb{C}}$ beschränkt und nach dem Satz von Liouville somit konstant. Vermutlich meinst Du aber die Aussage, dass jede meromorphe Funktion auf $\mathcal{R}$ rational ist. Dies kann man z.B. durch Induktion über die (diskrete!) Polstellenmenge relativ leicht zeigen. Die entscheidende Idee dabei ist, zu einem meromorphen $f$ mit einem Pol in $a$ eine rationale Funktion $p$ zu finden, sodass $g=f-p$ in $a$ holomorph ist. Bezeichnet $k$ die Polstellenordnung von $a$, so besitzt $f$ in einer (hinreichend kleinen) Umgebung von $a$ eine Laurent-Entwicklung der Form $f(z)=\sum_{n=-k}^{\infty} b_n (z-a)^n$. Setze dann $p(z)=\sum_{n=-k}^{-1} b_n (z-a)^n$. (Einen Pol in $a=\infty$ behandelt man mit der gleichen Idee und den naheliegenden Umformulierungen). lg, AK.


   Profil
targon
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-23

Ja, so hab ichs gemeint :-) Vielen Dank!


   Profil
targon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
targon hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
targon wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]