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  Charakteristische Funktion messbar auf einer Sigma-Algebra |
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anna_64
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 07.09.2016
Mitteilungen: 27
 |  Themenstart: 2016-10-17
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Hallo,
leider habe ich gerade Schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe:
Gegeben sei die Sigma-Algebra auf IR, die von allen offenen Intervallen (a,b) erzeugt wird. Ist die charakteristische Funktion messbar?
Ich verstehe nicht ganz, warum alle offenen Intervalle von R überhaupt eine Sigma - Algebra erzeugen. Denn sei $A$ diese Sigma - Algebra.
1) $ \emptyset \in A $ wenn man die leere Menge dazunimmt,
2) $a \in A => Vereinigung (a_i) \in A$, da weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass die Vereinigung von unendlich vielen offenen Intervallen wieder offen ist.
3) $a \in A => a^c \in A $ weil $a^c = (-oo,a]u[b,oo) =(-oo,a+1/n)u(b-1/n,oo)$ hält, wenn ich 2) gezeigt habe.
Bei der charakteristischen Funktion würde ich argumentieren, dass sie messbar ist, weil
\chi_a : \IR -> {0,1}
mit (A,\sigma) messbar und {0}u{1}u{} messbar.
Dann ist \chi_a^(-1) (0)= \IR \\ a \el\ A, \chi_A^(-1) (1)= a \el\ A,
also \chi_a^(-1) (a') = a \el\ A für a' \el\ A'.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei 2) helfen und mir sagen könnte, ob meine Ideen zur charakteristischen Funktion so stimmen.
Lg Anna
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 Profil
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1, eingetragen 2016-10-18
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Hallo,
in der Tat ist die charakteristische Funktion $\chi_A$ von einer messbaren Menge $A$ stets messbar. Genauer:
Sei $(X,\mathcal{A})$ ein messbarer Raum, $A\in \mathcal{A}$; Betrachte $(\{0,1\},\mathfrak{P}(\{0,1\})).$
Rechne das Urbild von Elementen von $\mathfrak{P}(\{0,1\})$ unter $\chi_A$ aus.
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Zu 2). Beliebige Vereinigung von offenen Mengen ist offen. Habe ich deine Frage nicht richtig verstanden?
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\quoteon(2016-10-17 23:41 - anna_64 im Themenstart)
Ich verstehe nicht ganz, warum alle offenen Intervalle von R überhaupt eine Sigma - Algebra erzeugen.
\quoteoff
Sie ist nach Definition eine sigma-Algebra. Was genau verstehst du nicht?
LG,
Saki17
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anna_64
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 07.09.2016
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-29
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Hallo, danke für die Antwort!
Inzwischen hab ich es verstanden. Manchmal brauchts einfach ein bisschen Zeit.. :)
Lg Anna
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anna_64 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
anna_64 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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