| |
| Autor |
 erzeugte σ-Algebren |
|
hAM1t
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.04.2015
Mitteilungen: 96
 |  Themenstart: 2016-10-22
|
Guten Tag,
ich hatte die gleiche Frage schon im Stochastik-Bereich gestellt, aber dort leider keine Antwort bekommen. Ich hoffe es ist in Ordnung, wenn ich es hier nochmal probiere.
\
Folgende Aufgabe ist zu lösen:
Sei \Omega eine Menge, \calU eine \sigma-Algebra auf \Omega.
Beweise oder widerlege:
(a) \sigma(\calU \union\ {A_0 }) = menge((A_1 \cut\ A_0) + (A_2 \cut\ (A_0)^c)|A_i \el\ \calU , i = 1,2) für A_0 \subset\ \Omega.
(b) \sigma(\calE) = menge(A \subset\ \Omega|\exists\ B \el\ \calU mit A \D B abzählbar) für \calE = \calU \union\ menge({\omega}|\omega \el\ \Omega)
Meine Ansätze:
Falls (a) stimmt, sind die jeweiligen Mengen Teilmengen voneinander.
''\subsetequal\ '':
Sei B \el\ \sigma(\calU \union\ {A_0 }).
1. Fall: Sei B \el\ \calU. Dann gilt B = (B \cut\ A_0) + (B \cut\ (A_0)^c) und somit ist B \el\ menge((A_1 \cut\ A_0) + (A_2 \cut\ (A_0)^c)|A_i \el\ \calU , i = 1,2)
2. Fall: Sei B\notel\ \calU. Hier komme ich leider nicht weiter.
Auch bei der Rückrichtung ''\supersetequal\'' habe ich Schwierigkeiten.
Zu (b):
Ist \Omega abzählbar, so stimmt die Behauptung, denn offensichtlich ist dann \sigma(\calE) = \calP(\Omega) = menge(A \subset\ \Omega|\exists\ B \el\ \calU mit A \D B abzählbar).
Ich hatte hier eigentlich versucht ein Gegenbeispiel zu konstruieren mit \Omega = \IR, bin dabei jedoch auch nicht weitergekommen.
|
 Profil
|
sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.1, eingetragen 2016-10-23
|
Hallo hAM1t,
Die Frage interessiert mich auch. Bin auch nur Student und stehe in diesen Themen auch noch auf wackligen Füssen.
Es fordert mich heraus nun zum ersten Mal im Fach "Masstheorie" nicht nur Fragen zu stellen, sondern auch einmal Antwort zu geben.
Gemeinsam bringen wir das hin.
Es würde mich freuen, wenn jemand, der mehr Erfahrung damit hat ein Auge auf die Sache werfen würde.
Konzentrieren wir uns einmal auf Teilaufgabe a) und lassen b) noch bei Seite.
Frage: Hast du die Aufgabenstellung "Zeichen für Zeichen" genau abgeschrieben? Deine Mengenbezeichnung scheint mir Fremd. Besonders das Zeichen "+" aber es ist schon klar was gemeint ist.
Du schreibst:
\
1. Fall: Sei B \el\ \calU. Dann gilt B = (B \cut\ A_0) + (B \cut\ (A_0)^c)
Ich würde meinen, dass dieser Satz einfach nur falsch ist. Du bist entschuldigt durch dieses komische "+" welches dich verwirrt.
B ist eine Teilmenge von $\Omega$. Teilmengen kann man nicht mit "+" addieren. Da stimmt etwas nicht.
Nun für den Fall dass $B \notin \mathcal{U} $, da merkst du ja selber dass du anstehst.
Wichtig:
Aber stellen wir doch zuerst einmal einen Schlachtplan auf.
Du definierts ein B dass entweder in $\mathcal{U}$ liegt oder eben nicht. Mir ist logisch nicht klar, was du da machst.
Ich schlage dir einen anderen Schlachtplan vor. Wenn du diesen gutheisst, dann können wir diesen Schritt für Schritt umsetzen.
Aus der Theorie wissen wir: Sei $M \subseteq \mathcal{P}(\Omega) $, dann kann M immer mit weiteren Teilmengen $N \subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ vereinigt werden, sodass $M \cup N$ die eigenschaften einer $\sigma-$algebra erfüllen. Die erzeugt Sigma algebra, -welche wir suchen- ist dann die Intersektion von allen $M \cup N$ algebren.
Nun: Suchen müssen wir die erzeugte $\sigma$-algebra nicht. Sie ist in der Aufgabenstellung gegeben. Wir müssen nur beweisen, dass es auch wirklich die Erezugte ist.
Vorgeschlagener Schlachtplan:
a) Beweisen dass $\{(A_1 \cap A_0) +(A_2 \cap A_0^c)| A_i \in \mathcal{U}, i \in 1,2... \}$ eine $\sigma$-algebra ist. Dazu müssen wir die drei Axiome einzel durchgehen.
b) Beweisen, dass diese $\sigma$-algebra auch die kleinste ist, welche $\mathcal{U}$ enthält
Was hälst du von diesem Schlachtplan?
|
Profil
|
Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46943
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.2, eingetragen 2016-10-23
|
\quoteon(2016-10-23 13:17 - sulky in Beitrag No. 1)
... Teilmengen kann man nicht mit "+" addieren. Da stimmt etwas nicht.
\quoteoff
Hi sulky,
doch, manchmal wird das Pluszeichen benutzt, um anzuzeigen, dasss es sich um eine disjunkte Vereinigung handelt. Das ist natürlich nur möglich, wenn an der Überlegung keine eigentliche Addition beteiligt ist.
In der Maßtheorie ist diese Schreibweise, zum Beispiel P(A+B) = P(A) + P(B), sinnvoll, weil man sich eine Erklärung sparen kann.
Dasselbe gilt für Differenzmengen A - B, hiermit wird die Differenz A \ B mit der Zusatzforderung B ⊆ A bezeichnet.
Gruß Buri
|
Profil
|
sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.3, eingetragen 2016-10-23
|
Hallo Burri,
Ok, Dann ist die Schreibweise korrekt. In der Linag haben wir
in ähnlichen Situationen das zeichen $\oplus$ anstatt $+$ verwendet. Verwechsele ich da etwas?
Nun steht aber im ersten Beitrag:
\
1. Fall: Sei B \el\ \calU. Dann gilt B = (B \cut\ A_0) + (B \cut\ (A_0)^c)
Kann man das wirklich so schreiben?
Die Menge wurde bezeichnet als: $\sigma(\mathcal{U}\cup A_0)=\{(A_1 \cap A_0) +(A_2 \cap A_0^c)| A_i \in \mathcal{U}, i \in 1,2... \}$
Nun, offensichtlich ist das korrekt, enspricht aber nich dem stil unserer Dozenten.
Wäre folgende Formulierung identisch?
$\sigma(\mathcal{U}\cup A_0)=\{B \in \mathcal{P}(\Omega)|\exists A \in \mathcal{U}sd (B=A \cap A_0 \wedge B= A \cap A^c)\}$
Wäre das nicht identisch? So würde es dem Stil unserer Büchern entsprechen.
Dann könnte man der Menge noch einen Namen geben. Naheliegend
$\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{U}\cup A_0)$
|
Profil
|
hAM1t
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2015
Mitteilungen: 96
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-23
|
Vielen Dank für die Antworten.
Wie Buri schon schrieb ist mit + die disjunkte Vereinigung gemeint, nächstes Mal erwähne ich es aber nochmal extra.
Ich habe nun gezeigt, dass $\{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}$ eine $\sigma$-Algebra ist. Außerdem habe ich gezeigt, dass $\mathcal{U}\cup \{A_0\}$ in dieser $\sigma$-Algebra enthalten ist. Also muss gelten $\sigma(\mathcal{U}\cup \{A_0\})\subseteq\{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}$.
Ich brauche leider noch einen kleinen Hinweis, wie ich nun zeige, dass dies auch die kleinste $\sigma$-Algebra ist, die $\mathcal{U}\cup \{A_0\}$ enthält.
|
Profil
|
sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.5, eingetragen 2016-10-23
|
wo hast du gezeigt dass $\{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}$ eine $\sigma$-Algebra ist?
Wenn $A_0 \notin \{\Omega,\emptyset\}$, dann liegt doch $\Omega$ gar nicht in der Menge und ein
Axiom ist verletzt.
Somit ist $\sigma(\mathcal{U}\cup A_0)$ zumindest nicht für alle $A_0 \in \Omega$ eine $\sigma-$Algebra
|
Profil
|
hAM1t
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2015
Mitteilungen: 96
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-23
|
$\mathcal{U}$ ist eine $\sigma$-Algebra, also gilt $\Omega \in \mathcal{U}$. Daraus folgt, dass
$(\Omega\cap A_0) + (\Omega\cap A_0^\mathrm{C})=\Omega$
in der Menge liegt und dies gilt für alle $A_0 \subset \Omega$.
|
Profil
|
sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.7, eingetragen 2016-10-23
|
ganz langsam bitte.
$A_0$ liegt in $\Omega$ und $A_0^c$ natürlich auch.
Dann ist doch $(\Omega \cap A_0)$ nichts anders als $A_0$.
Also:
$(\Omega\cap A_0) + (\Omega\cap A_0^\mathrm{C})=A_0+A_0^c$
Bin leider immer noch nicht sicher dieses "+" richtig verstanden zu haben.
Du verstehst es als $A_0+A_0^c=A_0\cup A_0^c=\Omega$
Ich verstehe es als die Menge der Elemente, welche sich entweder in $A_0$oder in $A_0^c$ befinden.
$\Omega$ befindet sich sehr wohl in $A_0\cup A_0^c$ aber $\Omega$ liegt weder in $A_0$ noch in $A_0^c$
Hoffentlich meldet sich Buri nochmals zu Wort.
|
Profil
|
hAM1t
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2015
Mitteilungen: 96
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-23
|
Ja, und was ist $A_0 + A_0^C$? ;-)
|
Profil
|
hAM1t
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.04.2015
Mitteilungen: 96
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-23
|
Also das + beschreibt, wie oben erwähnt, die disjunkte Vereinigung.
Ich versuche gerade zu zeigen, dass $\{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}$ die kleinste $\sigma$-Algebra ist, die $\mathcal{U}\cup\{A_0\}$ enthält.
Hierfür betrachte ich eine beliebige $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}$, welche $\mathcal{U}\cup\{A_0\}$ enthält. Nun möchte ich zeigen, dass
$\{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}\subseteq\mathcal{B}$ gelten muss.
Wie zeige ich nun, dass $(A_1\cap A_0)+(A_2\cap A_0^C)$ in $\mathcal{B}$ liegt?
|
Profil
|
sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.10, eingetragen 2016-10-23
|
Na gut, da wirst du wohl recht haben. Aber mit meinen Kenntnissen ist dies nicht nachvollziehbar. Lassen wir das mal bei Seite.
Du musst noch zeigen, dass für jedes $\mathcal{B}$, welches $\sigma$-algebra auf $\Omega$ ist, gilt:
$\mathcal{U}\cup A_0 \subseteq \mathcal{B} \Rightarrow \sigma(\mathcal{U}\cup A_0) \subseteq \mathcal{B}$
Damit "quetscht" du $\sigma(\mathcal{U}\cup A_0)$ auf die kleinstmögliche Grösse
Nun kann man also genauso vorgehen, wie du im allerersten Beitrag begonnen hast. Sei $B \in \sigma(\mathcal{U} \cup A_0)$
1.Fall: Sei $B \in (\mathcal{U} \cup A_0)$, dann $(\mathcal{U} \cup A_0) \subseteq \sigma(\mathcal{U} \cup A_0)\subseteq \mathcal{B}$
2.Fall: Sei $B \notin (\mathcal{U} \cup A_0)$ dann ist
$B \in (\mathcal{U} \cup A_0^c)$
Also $B=U\cup A_0^c, U \in \mathcal{U}$
jetzt kommts.
mit $U+A_0 \in \mathcal{B}$ muss man folgern dass auch
$U+A_0^c \in \mathcal{B}$
Dabei darf man auch die sigma-algebra-eigenschaften von $\mathcal{B}$ verwenden.
Bin schon eine weile am pröbeln, aber ich komme noch nicht drauf.
Schon mal soviel: $A_0 \in \mathcal{B}$
Aber ob auch $U \in \mathcal{B}?$ da bin ich noch unsicher
|
Profil
|
hAM1t
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2015
Mitteilungen: 96
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-23
|
Genau, aber wie gehe ich hier vor?
Da bin ich vorhin ja auch nicht weitergekommen...
Edit: Sorry, hab deine Änderung gerade erst gesehen, ich schreibe gleich was dazu.
|
Profil
|
hAM1t
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2015
Mitteilungen: 96
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-23
|
Du hast geschrieben:
\quoteon(2016-10-23 18:10 - sulky in Beitrag No. 10)
Du musst noch zeigen, dass für jedes $\mathcal{B}$, welches $\sigma$-algebra auf $\Omega$ ist, gilt:
$\mathcal{U}\cup A_0 \subseteq \mathcal{B} \Rightarrow \sigma(\mathcal{U}\cup A_0) \subseteq \mathcal{B}$
\quoteoff
Diese Implikation ist doch wegen der Definiton des $\sigma$-Operators immer erfüllt, oder nicht?
Korrekt müsste es lauten:
$\mathcal{U}\cup A_0 \subseteq \mathcal{B} \Rightarrow \{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}\subseteq\mathcal{B}$
Das heißt ich nehme mir $(A_1\cap A_0)+(A_2\cap A_0^C)\in\{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}$ und muss jetzt zeigen, dass dieses Element in $\mathcal{B}$ liegt.
Hier komme ich nicht weiter.
|
Profil
|
sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.13, eingetragen 2016-10-23
|
Korrekt müsste es lauten:
$\mathcal{U}\cup A_0 \subseteq \mathcal{B} \Rightarrow \{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}\subseteq\mathcal{B}$
Ja, ist doch genau das gleiche wie ich geschrieben habe. Nur habe ich $\sigma()$ geschrieben und du hast es ausgeschrieben.
Oder übersehe ich nun etwas?
Also nach all den Diskussionen über das "+" darf ich nun das "+"
durch ein $\cup$ ersetzen?
Wo es bei dir klemmt ist nicht die MAthematische korrektheit, aber die umständliche Ausdrucksweise.
Du schreibst:
$(A_1\cap A_0)+(A_2\cap A_0^C)\in\{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}$
warum schreibst du nicht einfach $B \in \sigma(\mathcal{U} \cup A_0)$
Ist doch genau dassgleiche, oder liege ich falsch?
|
Profil
|
hAM1t
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2015
Mitteilungen: 96
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-23
|
Nein, es ist nicht das Gleiche. Wir sind doch die ganze Zeit dabei zu zeigen, dass $\sigma(\mathcal{U}\cup \{A_0\})=\{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}$ gilt, dann können wir das an dieser Stelle nicht einfach voraussetzen.
\quoteon(2016-10-23 18:10 - sulky in Beitrag No. 10)
Du musst noch zeigen, dass für jedes $\mathcal{B}$, welches $\sigma$-algebra auf $\Omega$ ist, gilt:
$\mathcal{U}\cup A_0 \subseteq \mathcal{B} \Rightarrow \sigma(\mathcal{U}\cup A_0) \subseteq \mathcal{B}$
\quoteoff
Nochmal: Das, was du da geschrieben hast, gilt immer. Du brauchst da gar nichts zu beweisen, das folgt direkt aus der Definition des $\sigma$-Operators.
|
Profil
|
sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.15, eingetragen 2016-10-23
|
na gut, da habe ich einen Schritt übersprungen.
Dann sei demnach
$B \in \{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}$
Also,zu zeigen dass: wenn $B \in \{(A_1\cap A_0)+(A_2 \cap A_0^\mathrm{C})\mid A_i \in \mathcal{U}, i=1,2\}$
Dann ist $B\in \mathcal{B}$
Einverstanden soweit?
von $\mathcal{B}$ wissen wir noch nicht sehr viel.
Sicher wissen wir, dass $(U\cup A_0) \in \mathcal{B}, U\in \mathcal{U}$.
Weil $U$ auch Null sein kann, ist $A_0 \in \mathcal{B}$.
Aus den Eigenschaften einer $\sigma$-algebra wissen wir auch, dass $(U+A_0)^c \in \mathcal{B}$.
wir wissen doch schon einiges über $\mathcal{B}$
|
Profil
| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.16, eingetragen 2016-11-02
|
Hallo nocheinmal,
schade das hAM1t sich nicht mehr meldet.
Ich habe mich nochmals an die Aufgabe gemacht und bin steckengeblieben.
Folgendes bin ich nicht sicher ob ich es richtig verstanden habe:
Sei $B \in \sigma(\mathcal{U} \cup A_0)$ nun ist $B \subseteq \Omega$ einerseits eine Menge, anderererseits
ist $B \in \sigma()$ ein Element einer (anderen) Menge.
B ist also Menge und Element zugleich. Nur eine Frage der Perspektive.
Ist denn dieses blöde + zu verstehen als
$B=(A_1 \cap A_0) \cup (A_2 \cap A_0^c) $
Oder als
B= entweder $A_1 \cap A_0$ oder $A_1 \cap A_0^c$
Auch $A_0, A_1, A_2$ sind ja soweil Teilmengen von $\Omega$ als auch Elemente von $\mathcal{U}$
In diesem sinne finde ich die Frage berechtigt,
ob$\{A_0+A_1+A_1\}$ eine Menge aus einem Element ist (nämlich die Vereinigung) oder ob es eine Menge is, welche diese drei Elemente umfasst.
Ich frage mich, weshalb ich immer der einzige bin, dem solche sachen nicht klar sind
|
Profil
|
| hAM1t wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
2023-12-08 22:11 !
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
