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 Maß auf Potenzmenge([0,1]) |
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bastip92
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Dabei seit: 30.10.2016
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2016-10-30
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Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, die streng genommen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie ist, aber auch hier hinein passt. Da hier etwas regelmäßiger geantwortet wird als im Stochastik/Statistik-Unterforum, wende ich mich mal hier hin. ;-)
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie: Auf dem Messraum $\left(\left[0,1\right],\mathscr{P}\left(\left[0,1\right]\right)$ ex. kein Wahrscheinlichkeitsmaß (also $\mu\left(\left[0,1\right]\right)=1$) $\mu$, sodass folgende 2 Bedingungen gelten:
1. $\mu$ bildet in die Menge $\left\{0,1\right\}$ ab.
2. Es gilt $\mu\left(A\right)=0$, falls $|A|<\infty$
Zusatz: Welches Maß erhält man, wenn Bedingung 2 nicht gilt?
Meine Idee war nun $\left[0,1\right]$ aufzuteilen in gleichgroße Intervalle $\left(I_{j}\right)_{1\leq j\leq n}$ für ein $n\in\mathbb{N}$ mit $I_{j}=\left[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n}\right]$
Die sind zwar nicht ganz disjunkt, wegen Überschneidung an den Intervallgrenzen, allerdings sind ein-elementige Mengen nach unserer Voraussetzung 2 eh gleich 0.
Durch die $\sigma$-Additivität des Maßes folgt nun:
$\mu\left(\cup_{j=1}^{n}I_{j}\right)=\sum_{j=1}^{n}\mu\left(I_{j}\right)=1$
und somit wegen Bedingung 1 gebe es genau ein $k\leq n$ mit $\mu\left(I_{k}\right)=1$ und
$\mu\left(\left[0,1\right]\backslash I_{k}\right)=0$
Somit:
$1=\mu\left(I_{k}\right)=\mu\left(\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]\right)$
Nun kann ich offensichtlich n gegen unendlich laufen lassen, aber ich bin mir nicht wirklich sicher, welche Elemente dann in diesem Intervall liegen, bzw ob es leer ist.
Wenn es leer/endlich ist, dann habe ich ja quasi den Widerspruch erreicht den ich haben möchte, da das Maß dann 0 sein müsste nach Vor. 2. Oder habe ich bei der Aufgabe den völlig falschen Ansatz gewählt?
Wäre um Hilfe sehr dankbar :-)
Zu der Zusatzfrage:
Ich vermute wenn Bedingung 2 nicht gelten muss, bekäme man genau das Diracmaß für irgendein Element $x\in [0,1]$.
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
darkhelmet
Senior 
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2687
Wohnort: Bayern
|  Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-02
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Hi und herzlich willkommen,
du bist auf dem richtigen Weg. Wenn du das "n gegen unendlich laufen lassen" explizit machst, bekommst du eine fallende Folge von Intervallen. Wenn du den Schnitt über diese Intervalle betrachtest, kriegst du den Widerspruch.
Ich glaube, dass deine Vermutung zur Zusatzfrage auch stimmt und das gleich mitbewiesen wird, wenn du deinen Beweis so modifizierst, dass Bedingung 2 nur ganz am Ende verwendet wird.
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2023-12-08 22:11 !
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