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 Möbius-Transformation mit 2 Punkten |
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DerAstrophysiker
Neu 
Dabei seit: 19.11.2016
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2016-11-19
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Hallo zusammen,
Wir haben folgende Aufgabe, an der ich seit Stunden dran rumrechne, ohne dass ich auf ein richtiges Ergebnis komme:
Eine Möbiusabbildung w(z)=(az+b)/(cz+d) transformiert vom Kreis |z-1| = 2 auf den Kreis |w| = 1, wobei beide Elemente aus den komplexen Zahlen stammen.
Dazu haben wir folgende Vorgaben:
w(0)=0,
w(-1)=1.
Anhand der Vorgabe sieht man direkt, dass b = 0 sein muss, es also keine Verschiebung gibt. Allerdings verschiebt sich ja der Mittelpunkt des Kreises, was mich schon verwirrt, aber gut, ich habe erst mal weitergerechnet.
Im Prinzip habe ich hier dann also ein Gleichungssystem aufgestellt mit drei Gleichungen für drei Variablen. Dabei habe ich folgende Punkte gewählt:
w(3)=-1,
w(1+2i)=-i.
Mein Gedanke dahinter war, dass der Kreis ja offensichtlich um $\pi$ gedreht werden muss. Nach langem Durchrechnen kam ich auf ein Ergebnis, welches falsch war (in der Probe wurde der Punkt -1 bspw auf einen Punkt abgebildet, von welchem Realteil und Imaginärteil in der Summe zwar 1 waren, aber der Imaginärteil eben auch verschieden von 0, was ja nicht sein soll.)
Meine Frage ist daher: Was kann ich tun? Oder ist vielleicht die Aufgabenstellung fehlerhaft? (Eine andere Aufgabe auf dem Blatt hatte bereits einen Fehler, daher ist das nicht unmöglich!) Die Sechs-Punkte-Formel ist natürlich eine Option, aber aufgrund des vorherigen Durchrechnens bin ich verunsichert, ob ich vielleicht meine Punkte schlecht gewählt habe.
Grüße
P.S.: Ich habe lange kein LaTeX mehr benutzt, daher habe ich auf die Schnelle darauf verzichtet, alles dahingehend zu formatieren, Entschuldigung dafür!
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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
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Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-19
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\quoteon(2016-11-19 15:07 - DerAstrophysiker im Themenstart)
... Was kann ich tun?
\quoteoff
Hi DerAstrophysiker,
am einfachsten wird es, wenn du eine ganzrationale Möbius-Transformation nimmst. Sie hat die Eigenschaft, dass nicht nur die Kreise, sondern auch ihre Mittelpunkte aufeinander abgebildet werden, was bei gebrochen-linearen Möbius-Transformationen nicht der Fall sein muss.
Man kann zum Beispiel u = (z-1)/2 nehmen.
Anschließend braucht man eine Funktion f : (abs(u)<1) -> (abs(w)< 1) mit den Eigenschaften f(-1/2)=0 und f(-1)=1.
Die allgemeine Gestalt einer Funktion f : (abs(u)<1) -> (abs(w)< 1), die den Einheitskreis auf sich abbildet, lautet bekanntlich
f(u)=c*(u-a)/(1-a^-\.u) mit abs(a)<1 und abs(c)=1. In diesem Fall kannst du c=1 und musst a=-1/2 nehmen und die Abbildung f(u)=(u+1/2)/(1+1/2*u) mit der Abbildung u(z)=(z-1)/2 zusammensetzen.
Die Aufgabe hat übrigens unendlich viele Lösungen, weil man den Einheitskreis außerdem noch drehen kann, indem man c mit |c| = 1 beliebig wählt.
Gruß Buri
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DerAstrophysiker
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Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-19
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Hallo Buri,
zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort! Jedoch scheint hier ein Missverständnis vorzuliegen - der Punkt z = 0 wird auf w = 0 abgebildet, nicht der Punkt z = 1/2! Über diesen liegen keine vorgegebenen Informationen vor.
Das Problem war ja gerade, dass der Mittelpunkt des Kreises verschoben wird, aber dennoch w(0)=0 gilt.
Grüße
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Buri
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| Beitrag No.3, eingetragen 2016-11-19
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\quoteon(2016-11-19 17:32 - DerAstrophysiker in Beitrag No. 2)
... nicht der Punkt z = 1/2!
\quoteoff
Hi DerAstrophysiker,
bei meinem Ansatz wird z=0 auf u=-1/2 abgebildet und dieses dann auf 0.
Es sind natürlich auch andere Verfahrensweisen möglich.
Gruß Buri
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DerAstrophysiker
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Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-19
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Ups, habe ich nicht gesehen, Entschuldigung!
Ich habe das damit mal durchgerechnet und komme damit dann auf die Funktion:
f(z) = 2*z / (z+3)
Für z = 0 bildet diese Abbildung korrekterweise auf 0 ab, für z = -1 hingegen bildet sie auf -1 ab; sie soll aber auf +1 abbilden. Wo liegt der Fehler?
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Buri
Senior
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Mitteilungen: 46882
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| Beitrag No.5, eingetragen 2016-11-20
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\quoteon(2016-11-19 19:02 - DerAstrophysiker in Beitrag No. 4)
... Wo liegt der Fehler?
\quoteoff
Hi Astrophysiker,
das weiß ich nicht, weil du deine Rechnung nicht mitgeteilt hast.
Mit einem Minuszeichen davor sollte es gehen.
Gruß Buri
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| DerAstrophysiker hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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