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Strukturen und Algebra » Ringe » Nachweis für Ring
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Universität/Hochschule Nachweis für Ring
schobbi
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  Themenstart: 2016-11-29

Aufgabe: Ist $ R=\{x+y\sqrt[3]{3}|x,y \in \IQ\}\subset \IR $ ein Ring? Guten Morgen zusammen, ich stecke gerade bei obiger Aufgabe fest. Eigentlich muss ich doch hier nur die Ringaxiome durchtesten, d.h. (1) $R$ ist abelsche Gruppe bzgl. der Addition 1.1 $a,b \in R$ dann auch $a+b\in R$ 1.2 $a,b,c \in R$ dann gilt $(a+b)+c=a+(b+c)$ 1.3 Es gibt ein Element $e\in R$, so dass $e+a=a+e=a$ für alle $a \in R$ 1.4 Zu jedem $a \in R$ gibt es ein $a' \in R$ so dass $ a+a'=a'+a=e$ (2) Die Multiplikation ist assoziativ und distributiv über der Addtion 2.1 $a*(b*c)=(a*b)*c$ für alle $ a,b,c \in R$ 2.2 $(a+b)*c=a*c+b*c$ und $ c*(a+b)=c*a+c*b $ für alle $a,b,c \in R$ (3) Es existiert ein Element $1_R \in R$ mit $1_R*a=a*1_R$ für alle $a \in R$ Meine erste Frage: Hab ich da was vergessen? Was mich stutzig macht, dass diese Aufgabe mit nur zwei Punkten bewertet ist und somit der Umfang nicht all zu groß sein kann, was beim Durchrechnen aller Axiome nicht der Fall ist. Gibt es eine Möglichkeit dies abzukürzen? Oder ist R überhaupt kein Ring? Aber an welcher Eingenschaft würde das dann scheitern, das seh ich gerade nicht. DAKNKE für Eure Hilfe LG


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-29

R ist kein Ring, jedenfalls nicht mit den üblichen Verknüpfungen, die von den reellen Zahlen vererbt werden. Genauer: Die Multiplikation ist gar keine Verknüpfung auf R. Betrachte $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}$. Was die Vereinfachung des Nachweises von Ringen angeht; schau dir das Unterringkriterium bzw. Teilringkriterium an. Das braucht man hier aber wie gesagt nicht.


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schobbi
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-29

Erstmal Danke für den Hinweis, d.h. ich würde die Aufgabe so lösen, dass ich annehme $R$ wäre ein Ring, denn dann reicht es ja wenn ich ein Gegenbeispiel finde um zu zeigen, dass es keiner ist. Kann ich das dann so aufbauen, dass ich sage: Seine $x,y \in R $ dann können z.B. $ x=0+1*\sqrt[3]{3}$ und $x=0+1*\sqrt[3]{3}$ sein. Betrachtet man aber $x*y=(0+1*\sqrt[3]{3})*(0+1*\sqrt[3]{3})=(\sqrt[3]{3})^2$ so kann dies nicht von der Form $a+b\sqrt[3]{3}$ sein denn $a,b \in \IQ$? LG


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2016-11-29

Dass dies nicht so dargestellt werden kann, musst du aber auch noch zeigen. Zum Vergleich: $\{a+b \sqrt{3} : a,b \in \mathds{Q}\}$ ist ein Teilring von $\mathds{R}$. Es liegt hier also daran, dass man die dritte Wurzel nimmt. (Das ist immer noch kein Beweis, soll dir aber zeigen, dass das nicht völlig formal ist.)


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schobbi
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-29

Okay, wenn ich analog $\{a+b \sqrt{3} : a,b \in \mathds{Q}\}$ betrachte mit $a=0$ und $b=1$ dann hab ich ja $(0+1\sqrt{3})*(0+1\sqrt{3})=(\sqrt{3})^2=3$ aber dies ist ja wieder von der Form $(a+b\sqrt{3})$ mit $3=a \in \IQ$ und $0=b \in \IQ$ und genau das lässt sich mit der dritten Wurzel nicht machen da hab ich dann den Wiederspruch zu $a,b \in \IQ$ ODER?


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2016-11-29

Das ist kein Beweis. Das ist dir hoffentlich klar. Du musst $\sqrt[3]{3}^2=a+b \sqrt[3]{3}$ mit $a,b \in \mathds{Q}$ zu einem Widerspruch führen.


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schobbi
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-29

Das ist schon klar, dass es kein Beweis ist. Es sollte ja nur verdeutlichen, warum es bei der dritten Wurzel nicht geht aber bei der Quadratwurzel schon. $ (a+b\sqrt(3))*(x+y\sqrt(3))=ax+ay\sqrt{3}+bx\sqrt{3}+3by=(ax+3by)+(ay+bx)\sqrt{3} $ und da $a,b,x,y \in \IQ$ sind sind auch $(ax+3by)$ und $(ay+bx)\in\IQ$. Also passt das hier, anders als bei der dritten Wurzel, denn da taucht $(\sqrt[3]{3})^2$ auf


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weird
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  Beitrag No.7, eingetragen 2016-11-29

\quoteon(2016-11-29 10:46 - schobbi in Beitrag No. 4) und genau das lässt sich mit der dritten Wurzel nicht machen da hab ich dann den Wiederspruch zu $a,b \in \IQ$ \quoteoff Konkret musst du für dein Beispiel zeigen, dass sich $\sqrt[3]9$ nicht in der Form $a+b\sqrt[3]3$ mit $a,b \in \mathbb Q$ darstellen lässt. Und ja, bitte nicht enttäuscht sein, wenn du dabei nicht auf einen "Wiederspruch" kommst, den gibt es nämlich weder hier, noch sonstwo. :-D [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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schobbi
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-29

Da waren die Finger wohl wIEder schneller als ich wollte :-) Oder ich wollte damit einfach zum Ausdruck bringen, dass ich schon wIEder einen WIderspruch habe ;-) Danke für Eure Hilfe und noch einen schönen Tag


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schobbi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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