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Universität/Hochschule Ideale
schobbi
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  Themenstart: 2016-11-29

Aufgabe: Untersuchen Sie, welche der folgenden Mengen Ideale sind: $ M_1:=\IZ[X^2]\subset\IZ[X] $ $ M_2:= \{a\in R |a^n=0$ für ein $n \in \IN\}$, für einen kommutativen Ring $R$ $ M_3:=\{Xp(X)|p(X)\in\IR[X]\}\subset\IR[X]$ Um zu Zeigen, dass M ein Ideal ist muss gelten: 1. $(M,+)$ ist eine Untergruppe vom Ring $(R,+,*)$ d.h. $0 \in M$; Abgeschlossenheit bzgl +; additiv Inverses existiert; Assoziativität ist gegeben (wird aber immer vom Ring vererbt) 2. $a \in I \rightarrow a\cdot{}r\in I$ für alle $r \in $$ Ring Meine Überlegungen zu $M_1$: Damit M_1 ein Ideal ist muss insb. 2. gelten. Sei also$ a \in M_1:=\IT[X^2]$ und $r\in\IZ[X]$, dann gilt $ r * a \notin \IZ[X^2] $ und somit ist M_1 kein Ideal. Kann ich das so machen, ober hab ich die Menge falsch verstanden? Es wäre nett wenn Ihr mir noch ein paar Tipps bzw. Ansätze geben könntet, wie ich die anderen beiden Menge auf Ideale testen kann. Da häng ich nämlich ganz am Anfang fest. Lieben Dank! LG


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helmetzer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-29

Bei 1. liegst du richtig, aber du musst schon konkret ein \ r \el\ \IZ[X] angeben, so dass nicht gilt: ra \el\ \IZ[X^2] Übrigens: \IZ[X^2] ist ein Unterring, nämlich diejenigen Polynome, wo nur geradzahlige Potenzen von X auftreten. Bei 2. denke an die binomische Formel. Bei 3. denke an Hauptideale.


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