| |
| Autor |
  Inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung |
|
Sito
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 229
 |  Themenstart: 2016-12-08
|
Guten Abend zusammen.
Wir haben gestern mit dem Thema Differentailgleichungen in der Vorlesung begonnen und sind dann recht schnell zu inhomogenen Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung gekommen. Ich hatte das Gefühl, dass Thema eigentlich nicht schlecht verstanden zu haben, bis wir mit diesem Abschnitt begonnen haben... Es soll in diesem Thread also nicht unbedingt um eine konkrete Aufgabe gehen, sonder eher um das grundsätzliche Verständnis.
Also angenommen ich habe eine DGL folgender Form:
$\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+...+a_0y(x)=f(x)$
Zum finden der allgemeinen Lösung muss ich die homogene DGL lösen und noch eine partikuläre Lösung finden.
Zum finden der Lösung für die homogene DLG wählt man den Ansatz: $y(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}$. Dadurch ergibt sich das charakteristische Polynom: ${\lambda}^n+a_{n-1}{\lambda}^{n-1}+...+ a_1\lambda + a_0= 0$. Nun gilt es die Nullstellen dieses Polynoms zu bestimmen. Es ergeben sich drei Möglichkeiten:
1. $\lambda_{1,...,n}\in \mathbb{R} \Rightarrow y_1(x)= A_1\mathrm{e}^{\lambda_1 x}, y_2(x)=A_2\mathrm{e}^{\lambda_2 x}, ...., y_n(x)=A_n\mathrm{e}^{\lambda_n x} $
2. $\lambda_{1,...,n}\in \mathbb{C} \Rightarrow $ ist $\lambda_i \in \mathbb{C}$ eine Nullstelle des Polynoms, so ist es auch $\overline{\lambda_i}$.
Hier beginnt das Verständnis Problem..
Es steht weiter: "und wir erhalten aus $\mathrm{e}^{\lambda_i x}, \mathrm{e}^{\overline{\lambda_i} x}$ zwei reelle Lösungen durch den Übergang auf Real– und Imaginärteil einer dieser beiden komplexen Lösungen."
Ich verstehe leider nicht wie das gemeint ist mit Übergang... bzw. ich bin mir nicht sicher ob ich es richtig verstehe...
Es gilt doch: $z=C\mathrm{e}^{\lambda x}=C(\cos(\lambda x)+ i\sin(\lambda x))\Rightarrow \overline{z}=C'(\cos(\lambda x)- i\sin(\lambda x))$. Wenn ich den Prof. richtig verstanden habe sind Lin.komb. von Lösungen ebenfalls Lösungen was bedeutet: $z'= \frac{z+\overline{z}}{2}= \hat{C}\cos(\lambda x ) \text{ mit } \hat{C}=C+C'$. Das sollte eine Lösung sein, aber wie erhalte ich die zweite? bzw. stimmen diese Überlegungen überhaupt?
3. Gilt $\lambda_i=\lambda_{i+1}$ so sind die beiden Funktionen $y_i(x)= \mathrm{e}^{\lambda_i x}, y_{i+1}(x)=x\mathrm{e}^{\lambda_{i+1} x}$ lin. unabhängige Lösungen der Gleichung. usw.
In diesem Teil bildet also vor allem der 2. Fall ein Problem, da ich dort einfach nicht verstehe was der Prof. genau meint.
Nun muss man noch eine partikuläre Lösung der Gleichung finden. Ab hier blicke ich eigentlich gar nicht mehr durch... Der Prof. hat ein Bsp. gezeigt, bei dem er von "Variation der Konstanten" gesprochen hat.. Er hat das ganze am Bsp. $y'(x)+f(x)y(x)=g(x)$ durchgerechnet und dann gesagt, dass könne man so auch für den verallgemeinerten Fall anwenden... Leider verstehe ich nicht ganz wie..
Bei diesem eher einfachen Bsp. gilt ja $y_{Hom}=A\mathrm{e}^{-\lambda x}$ nun wird aus $A\to A(x)$, man setzt es in die inhomogene Gleichung ein und löst diese nach $A(x)$ auf was dann zu $A(x)=\int g(x)\mathrm{e}^{\lambda x} \mathrm{d}x$ führt. Ich hoffe mal das stimmt soweit...
Aber ich verstehe nicht wie das für eine DGL $n$-ter Ordnung gehen soll...
Ich hoffe ihr könnte mir hier mal wieder ein bisschen auf die Sprünge helfen,
Gruss Sito.
|
 Profil
|
gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4867
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-12-09
|
Hallo Sito,
\
wollen wir uns dessen mal schrittweise annehmen? Wenn dir alles klar ist bis zu dem Punkt, an dem aus den (ggf. komplexen) Lösungen des char. Polynoms der homogenen Lösungen folgende Fälle ergeben:
a) es treten nicht nur reale, sondern auch komplexe Lösungen auf. Wenn dies der Fall ist, gibt es jeweils Paare aus zwei konjugiert Komplexen Lösungen. Die Lösungen haben dann die Form
y_1(x) = sin(\omega x)
y_2(x) = cos(\omega x)
wobei sich die realwertige Kreisfrequenz \omega aus dem Exponenten \lambda bestimmt. den Faktor vor dem sin bzw. cos habe ich hier einmal ausgelassen, da wir ja nur Basislösungen brauchen, und am Ende wieder eine Linearkombination dieser als Gesamtlösung hernehmen.
b) es könnten mehrfache Nullstellen vorkommen. Man betrachtet dann Lösungen der Form
y_1(x) = exp(\lambda x)
y_2(x) = x exp(\lambda x)
für doppelte Nullstellen, weiterführend mit x^2, x^3 etc für mehrfache Nullstellen.
Ok das ist einfach bis dato nur in anderen Worten das was du aufgeführt hast, und nur der erste Teil, der zur Lösung der homogenen Gleichung eben. Du hast schon geschrieben, wie sich die cos Lösung ergibt im Fall a), du müsstest also grübeln, wie man (analog dazu) auf einen sin kommen kann. Das kann man ausgehend von der euler'schen darstellung e^iz = cos(z) + i sin(z) zeigen, du müsstest da einfach nur ein bisschen mit herumspielen ?
Ist dir der Fall b) soweit klar?
Das Verfahren der "Variation der Konstanten" zum finden einer Lösung der inhomogenen Gleichung - hast du dir das mal angesehen? Wie weit kommst du dort ? sonst wäre das nen eigenes Post wert :)
Grüsse
und lass mal hören wo es genauer klemmt bzw. wie weit du damit kommst
gonz
PS.: "Wenn ich den Prof. richtig verstanden habe sind Lin.komb. von Lösungen ebenfalls Lösungen" - das ist eine wichtige Sache, und du solltest das wirklich gut verstehen. Wenn du das nur weisst, weil du dem Prof da glaubst - reicht das nicht ggg
|
Profil
|
Sito
Wenig Aktiv
Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 229
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-09
|
Zuerst mal vielen Dank für die Antowort!
\quoteon(2016-12-09 07:54 - gonz in Beitrag No. 1)
wollen wir uns dessen mal schrittweise annehmen?
\quoteoff
Das hört sich soweit gut an, ich dachte mir schon, dass das wohl in einem Beitrag nicht gehen wird.^^
\quoteon
Du hast schon geschrieben, wie sich die cos Lösung ergibt im Fall a), du müsstest also grübeln, wie man (analog dazu) auf einen sin kommen kann. Das kann man ausgehend von der euler'schen darstellung e^iz = cos(z) + i sin(z) zeigen, du müsstest da einfach nur ein bisschen mit herumspielen ?
\quoteoff
Nun ich habe da eine Idee im Kopf, bin mir aber nicht sicher ob das so erlaubt ist:
$\displaystyle z'=\frac{z-\overline{z}}{2i}=\frac{\cos(\lambda t)+i \sin(\lambda t) - \cos(\lambda t) + i \sin(\lambda t)}{2i}=\sin(\lambda t)$
Ich habe bei dieser Umformung gezögert, wegen dem teilen durch $i$. Es ist mir zwar klar, dass $i^2=-1$ definiert ist, aber ich bin mir nicht wirklich sicher, ob ich so nicht Lösungen verliere...
\quoteon
Ist dir der Fall b) soweit klar?
\quoteoff
Nun ich denke das Wort "klar" ist etwas übertrieben.^^ Ich denke ich verstehe die Methode, aber wieso es genau funktioniert nicht wirklich...
Falls man eine DGL mit $n$-ter Ableitung hat, so kann man bei einer $(n-1)$-fachen Nullstelle so Lösungen generieren. Man darf einfach nicht bis zum höchsten Grad der Ableitung gehen, sonder eins darunter...
\quoteon
Das Verfahren der "Variation der Konstanten" zum finden einer Lösung der inhomogenen Gleichung - hast du dir das mal angesehen?
\quoteoff
Nun wir haben das ganze wie gesagt an einem relativ einfachen Bsp. durchgerechnet, aber nie wirklich angeschaut für DGL der Ordnung $>1$. Also habe ich einfach mal ein bisschen selbst im Skript/Internet/Büchern gelesen, bin da aber relativ schnell an meine Grenzen gestossen...
Als Bsp. eine inhomogene DGL 2. Ordnung. $y''(x)+ a_1 y'(x)+a_0y(x) = f(x)$
Sein nun die Lösung der homogenen Gleichung:$y_h(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$.
Nun soll man, soweit ich das verstanden habe die Konstanten $c_1,c_2$ durch Funktionen $c_1(x),c_2(x)$ ersetzen und den Ansatz wählen: $y_p(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)$
Nun müsste man $y_p(x)$ zwei mal Ableiten und diese Gleichung dann in die ursprüngliche DGL einsetzten.
1.Ableitung: $y_p'=c_1'y_1+c_2'y_2+c_1y_1'+c_2y_2'$
2.Ableitung: $y_p''=c_1''y_1+c_2''y_2+c_1y_1''+c_2y_2''+2c_1'y_1'+2c_2'y_2'$
Eingesetzt in die DGL:
$\underbrace{c_1''y_1+c_2''y_2+c_1y_1''+c_2y_2''+2c_1'y_1'+2c_2'y_2'}_{y_p''}+a_1\underbrace{(c_1'y_1+c_2'y_2+c_1y_1'+c_2y_2')}_{y_p'}+a_0(c_1y_1+c_2y_2)=f(x)$
So und jetzt kommt ein Schritt bei dem ich mir nicht wirklich sicher bin, aber man kann wie es aussieht für die beiden Funktionen $c_1(x)$ und $c_2(x)$ Bedingungen wählen (stimmt das?), was wohl sinnvoller weise so gewählt wird, dass $c'_1y_1 + c'_2y_2= 0$. Was dann die entstehende DGL deutlich vereinfacht (btw. das hätte man auch schon vor dem Ableiten, dann so wählen können, so dass man sich bei der zweiten Ableitung einiges sparen kann oder?)
Neu DGL:
$c_1y_1'' + c_2 y''_2+ c'_1y_1'+ c'_2y'_2+a_1(c_1 y'_1+ c_2y_2')+a_0(c_1y_1+c_2y_2)=f(x)$
So und jetzt komme ich nicht mehr wirklich weiter. Wie geht es denn jetzt weiter?
Ich bin zwar etwas vom eigentlichen Thema abgeschweift, aber ich denke ohne es bei einer DGL 2. Ordnung wirklich verstanden zu haben macht es auch nicht wirklich Sinn über DGL n-ter Ordnung zu sprechen...
\quoteon
das ist eine wichtige Sache, und du solltest das wirklich gut verstehen. Wenn du das nur weisst, weil du dem Prof da glaubst - reicht das nicht
\quoteoff
Nun um ehrlich zu sein ist mir das ganze viel zu schnell gegangen. Wenn ich das richtig verstanden habe kann man mit den Lösungen der homogenen DGL einen Vektorraum aufspannen (der natürlich eine Basis hat) und somit sind dann auch alle Lin.komb. aus diesem Raum Lösungen.. Leider kann ich nicht wirklich behaupten da nachgekommen zu sein.. Sei es bei der Bestimmung der Basis, noch wieso das jetzt genau ein Vektorraum sein soll...
Gruss Sito
|
Profil
|
Sito hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sito hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
