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Strukturen und Algebra » Ringe » Faktorringe und deren Äquivalenzklassen
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Universität/Hochschule Faktorringe und deren Äquivalenzklassen
Erratis
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  Themenstart: 2016-12-12

Guten Abend! Ich sitze gerade noch an meinem Algebra Übungszettel und habe gemerkt, dass ich Faktorringe anscheinend nicht genügend verstehe. Nachdem ich im ersten Teil gezeigt habe, dass ein Ring genau dann ein Ideal ist, wenn die Nichteinheiten ein Ideal bilden, muss ich nun zeigen, dass aus \ A lokal \fraka != A Ideal in A => A//\fraka lokal Im ersten Teil habe ich gelernt, dass das maximale Ideal aus allen Nichteinheiten von A bestehen muss. Und ich habe die Vermutung, dass ich mir nur den Fall anschauen muss, indem ich das maximale Ideal habe, da alle anderen Ideale Teilmenge dieses sind (da es nur ein maximales gibt). Jedoch ist meine Verständnisfrage primär eine andere. Zum Beispiel kann ich mir schlecht vorstellen wieviele Restklassen es gibt. Aber halbwegs wie sich die Addition und andere Sachen auf dem Faktorring verhalten. \ Ich denke, dass 2 Elemente in der selben Restklasse sind, wenn ihre Differenz sich in \fraka befindet, denn wenn sie sich in der gleichen Restklasse befinden, dann ergibt die Differenz auf A//\fraka [0], da die Rechnung auf A//\fraka repräsentantenunabhängig sind bekommen wir (x+\fraka)-(x+\fraka)=(x-x+\fraka)=(0+\fraka)= [0] , wobei x der Repräsentant der Restklasse der beiden Elemente ist. Analog ist die Summe/Differenz zweier Elemente aus unterschiedlichen Restklassen in der Restklasse, deren Vertreter ich aus der Summe/Differenz der jeweiligen Vertreter erhalte. Allerdings habe ich nun keine Ahnung wie man sich die Elemente explizit vorstellt, sodass man die Existenz eines maximalen Ideales überprüfen könnte. Ich hoffe ich konnte halbwegs deutlich machen wo das Problem liegt.


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yann
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-12-13

Es gilt allgemein: Maximale Ideale in $A$, die $\mathfrak a$ enthalten, stehen in 1:1 Beziehung zu maximalen Idealen in $A/\mathfrak a$ durch die kanonische Projektion $\pi$. Da $A$ lokal ist, gibt es nur ein maximales Ideal $\mathfrak m$. Damit hat der Faktorring auch nur ein solches, nämlich $\pi(\mathfrak m)=\mathfrak m/\mathfrak a$. Wie viele Elemente ein Faktorring hat, kann man im allgemeinen nicht schliessen. Solange du weisst, wie du mit den Restklassen rechnest und den Homomorphiesatz behälst, wird dir das kein Problem darstellen. (Rechnen tut man nach den Basisvorlesungen in der Theorie sowieso eigentlich nie mit Restklassen. In der AlgebraI-Klausur könnte es schon passieren)


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Erratis
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-13

Danke dir für die ausführliche Antwort! Ich versuche dann nochmal alleine den ersten Teil nachzuvollziehen. Auch wenn es etwas schade ist, dass man sich die Dinge nicht besser vorstellen kann. Ich fand es zum Beispiel bei den Quotientenräumen sehr anschaulich, als man im R2 eine Gerade als UVR hatte und man die Äquivalenzklassen einfach durch Verschieben der Gerade erhalten hat. Mir ist klar, dass es hier ähnlich sein muss, da es im Kern das selbe ist, jedoch fühlt es sich trotzdem anders an. Einfach, da man es nicht so schön visuell aufzeichnen kann.


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yann
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  Beitrag No.3, eingetragen 2016-12-13

Vom Konzept her ist es immer dasselbe, ja. Man identifiziert Elemente , die sich um ein Element aus dem Objekt unterscheiden (Bei Vektorräumen, Moduln, Ringen ist hier z.B. die Addition gemeint), was man herausteilt. In deinem Beispiel ist es auch genau das. Alle Elemente auf der verschobenen Gerade unterscheiden sich genau um ein Element aus deiner Ursprungs-Gerade, die herausgeteilt wird, d.h. wir identifizieren sozusagen jeden Punkt auf der verschobenen Gerade mit der Gerade selbst. Vom visuell aufzeichnen solltest du in den meisten Fällen aber eher Abstand nehmen, da man ja auch z.B. Vektorräume bilden kann, die nicht wirklich gezeichnet werden können. (Beim $\mathbb R^2$ gehts natürlich noch)


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