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Funktionentheorie » Holomorphie » Differenzierbarkeit komplexer Funktionen, f(x+iy)=(x-y)³-i2xy
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Universität/Hochschule Differenzierbarkeit komplexer Funktionen, f(x+iy)=(x-y)³-i2xy
JenMath
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  Themenstart: 2017-02-06

Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Für welche komplexen Zahlen z ist die Funktion $f(z):=f(x+iy)=(x-y)^3-i2xy$ differenzierbar? Mein Ansatz: $u:=(x-y)^3$, $v:=(-2xy)$ Und dann Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen anwenden: $\partial u_x=3x^2-6xy+3y^2$ $\partial u_y=-3x^2+6xy-3y^2$. $\partial v_x=-2y$ $\partial v_y=-2x$. Nach CR-Differentialgleichungen muss gelten: $\partial u_x = \partial v_y$ und $\partial u_y = - \partial v_x$. Nutzt man dies nun und addiert die entstehenden Gleichungen so entsteht $x=y$. Damit ist die Funktion differenzierbar für alle komplexen Zahlen $z=x+iy$ mit $x=y$. Stimmt die Argumentation? Die Ableitung wäre dann $f'(z)=3x^2-6xy+3y^2-i2y$? Danke fürs Drüberschauen :).


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-06

Hey JenMath, du hast gezeigt, dass die Bedingung $x=y$ notwendig für komplexe Differenzierbarkeit ist, aber noch nicht, ob diese Bedingung auch hinreichend ist. Diese Bedingung hast du ja erhalten, indem du die Gleichung $\partial u_x + \partial u_y = \partial v_y - \partial v_x$ (1), umgeformt hast. Gleichung (1) ist aber nur eine Folgerung aus den CR-Gleichungen und nicht zu diesen äquivalent, das heißt Gleichung (1) könnte von mehr Paaren $(x,y)$ erfüllt werden als die CR-Gleichungen. Überprüfe noch, für welche Paare $(x,y)$ mit $x=y$ die CR-Gleichungen erfüllt sind.


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JenMath
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-06

Okay, dann bin ich jetzt so vorgegangen: Ich habe x=y in die CR-Gleichungen eingesetzt nund komme dann, wenn ich y durch x "ersetze" zu: $3x^2-6x^2+3x^2=-2x$ sowie $-3x^2+6x^2-3x^2=2x$. Addiere ich die beiden entsteht 0 = 0. Dasselbe mit y und somit ist die Bedingung nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend? Habe ich das so richtig verstanden?


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Kampfpudel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-06

Nein, das ist so nicht richtig. Ich wiederhole mich: wenn du die linken und rechten Seiten zweier Gleichungen jeweils addierst, erhälst du eine Gleichung, die NICHT äquivalent zu den beiden vorherigen Gleichungen ist, sondern NUR aus diesen folgt. Wenn ich etwa herausfinden möchte, für welche $x \in \mathbb{R}$ die Gleichungen $x+1=4$ und $-x-1=-4$ erfüllt sind, kann ich nicht einfach hingehen und beide Gleichungen addieren, $0=0$ herausbekommen und sagen: Die ursprünglichen Gleichungen sind daher für alle $x \in \mathbb{R}$ erfüllt. Genau das tust du gerade. Arbeite mit den beiden Gleichungen, die du da jetzt stehen hast. Ich wäre ja dafür, den Ausdruck $3x^2-6x^2+3x^2$ mal zu vereinfachen.


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