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 Inhomogene DGL, partikuläre Lösung |
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Neuling1
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 22.11.2014
Mitteilungen: 103
 |  Themenstart: 2017-02-08
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Guten Abend zusammen,
ich bereite mich momentan auf meine DGL Klausur vor und hänge etwas bei folgendem Aufgabentyp (s. Bild).
Eine homogene Lösung zu bestimmen funktioniert super, aber der rechte Teil der Gleichung , also $e^{3t} + sin(2t)$ macht mir etwas Probleme.
Ich habe mir schon mehrere Beispiele angeguckt, allerdings hatten diese keine Summe, sondern ein Produkt, sodass der Ansatz für eine Lösung besser nachvollziehbar war.
Jetzt bin ich allerdings etwas überfragt.
Ich weiß nicht, wie mein Ansatz für eine partikuläre Lösung aussehen soll.
Danke für jede Hilfe.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/41473_B11A3.png
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2023
| Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-08
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Hey Neuling1,
schau mal hier auf der zweiten Seite:
http://www-hm.ma.tum.de/ss06/bv2/aufgaben/Zusatzblatt1_LinDGL_KonstKoeff.pdf
Bedenke: Hast du eine lineare DGl der Form $L(x(t),x^{(1)}(t),...,x^{(n)}(t))=b(t)$, wobei $b(t)=b_1(t) + b_2(t)$, dann erhältst du eine partikuläre Lösung dieser DGl, indem du Lösungen $x_i$ suchst zu $L(x(t),x^{(1)}(t),...,x^{(n)}(t))=b_i(t)$, $i=1,2$ und diese Lösungen addierst, d.h. $x_1 + x_2$ ist eine partikuläre Lösung zu $L(x(t),x^{(1)}(t),...,x^{(n)}(t))=b(t)$
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.2, eingetragen 2017-02-08
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Hallo Neuling1,
der Ansatz richtet sich natürlich auch immer nach der homogenen Lösung (Stichwort: Resonanz). Bei einer Summe kannst du einfach Summandenweise vorgehen. Also:
$\displaystyle x_{p_1}=ae^{3t}$
$\displaystyle x_{p_2}=b\sin(2t)+c\cos(2t)$
Oder - falls du es in einer Rechnung machen willst:
$\displaystyle x_{p}=ae^{3t}+b\sin(2t)+c\cos(2t)$
Diese Ansätze sind für den Fall aufgeschrieben, dass keine Resonanz vorliegt. Das habe ich nun nicht geprüft.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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