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Universität/Hochschule Reduktionsverfahren d'Alembert
Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-09


haii.

Sei <math>I \subset \mathbb{R}</math> ein offenes Intervall und <math>a_0, a_1: I \rightarrow \mathbb{R}</math> stetig. Dann ist <math>\varphi_1</math> eine Lösung der Dgl: <math>y""= a_1(t)y" + a_0(t)y</math> mit <math>\varphi_1(t) \neq 0</math>.

Für alle <math>t \in J</math> auf einem offenen Unterintervall <math>J \subset I</math> erhält man eine zweite von <math>\varphi_1</math> unabhängige Lösung <math>\varphi_2</math> durch den Ansatz: <math>\varphi_2= z(t)\varphi_1(t)</math> wobei <math>w = z"</math> Lösung der linearen Dgl

<math>w" = (a_1(t) -2\frac{\varphi"_1(t)}{\varphi_1(t)}) w</math> ist.

Wie kommt man denn auf das <math>w" = (a_1(t) -2\frac{\varphi"_1(t)}{\varphi_1(t)}) w</math>??

Es gilt ja <math>\varphi"_2= z"\varphi_1 + z \varphi"_1</math> und <math>\varphi""_2= z""\varphi_1+ 2z"\varphi"_1 + z\varphi""_1</math>


Ich habe schon zig mal versucht, diese Gleichungen umzuformen und dann einzusetzen, aber ich komme da nicht weiter.



GlG



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-09


Hallo Polar_regen,
Du setzt <math>\varphi_2""</math> aus der korrigierten letzten Gleichung und <math>\varphi_2"</math> in die Differentialgleichung ein. Als nächstes musst Du ausnützen, dass <math>\varphi_1</math> eine Lösung der Differentialgleichung ist.

Servus,
Roland


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Lineare DGL 2. Ordnung' von rlk]



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09


Hallo Roland, also ich mache das mal ganz kleinschrittig, bevor ich mich wieder verrenne...

Nach dem Einsetzten in die Dgl habe ich

<math>z""\varphi_1 + 2 z" \varphi"_1 + z \varphi""_1= a_1(t)(z"\varphi_1 + z \varphi"_1) + a_0(t) y</math>

Stimmt das erstmal?

GlG



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-09


Hallo Polar_regen,
nicht ganz, was muss statt <math>y</math> stehen? Um Schreibarbeit zu sparen, würde ich auch bei den Funktionen <math>a_1</math> und <math>a_0</math> das Argument <math>t</math> weglassen.

Servus,
Roland



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09


Haii Rolang,

anhand deines Tipps würde ich sagen, dass ich <math>y= \varphi_1</math> setzen kann, weil <math>\varphi_1</math> eine Lösung der Dgl  <math>y""= a_1(t)y" + a_0(t)y</math> mit <math>\varphi_1(t) \neq 0</math> ist.



Also: <math>z""\varphi_1 + 2 z" \varphi"_1 + z \varphi""_1= a_1(z"\varphi_1 + z \varphi_1") + a_0 \varphi_1</math>

So dann würde ich das ganze nach z'' umstellen:

 <math>z"" = \frac{a_1(z"\varphi_1 + z \varphi_1") + a_0 \varphi_1 -2 z" \varphi"_1 - z \varphi""_1}{\varphi_1} </math>


Ich erhalte mein gewünschtes Ergenis aber nur, wenn
<math>a_1z \frac{\varphi"_1}{\varphi_1} + a_0  = z\frac{\varphi""_1}{\varphi_1}</math>

Ist diese aussage gültig und wenn ja, wie erkenne ich diese Gleichheit?


GlG



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-02-09


Hallo polar_regen,
nein <math>y=\varphi_1</math> ist falsch. Was hast Du für <math>y"</math> und <math>y""</math> in die Differentialgleichung eingesetzt?

Servus,
Roland



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Polar_regen
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Okayy es muss sein <math>y= \varphi_2</math>

und ist ist <math>\varphi_2= z(t)\varphi_1(t)</math>


Also insgesamt:

 <math>z""\varphi_1 + 2 z" \varphi"_1 + z \varphi""_1= a_1(z"\varphi_1 + z \varphi_1") + a_0 \varphi_2</math>


=

 <math>z""\varphi_1 + 2 z" \varphi"_1 + z \varphi""_1= a_1(z"\varphi_1 + z \varphi_1") + a_0  z\varphi_1</math>

Jetzt steht aber z.B das <math>a_0</math> immer noch im Weg

GlG



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-02-10


Hallo Polar_regen,
jetzt kannst Du den Hinweis aus Beitrag 1 anwenden.
2017-02-09 13:23 - rlk in Beitrag 1 schreibt:
Als nächstes musst Du ausnützen, dass <math>\varphi_1</math> eine Lösung der Differentialgleichung ist.
Dazu stellst Du die Differentialgleichung für <math>\varphi_1</math> so um, dass auf einer Seite der Gleichung Null steht und suchst in Deiner Gleichung nach dem Ausdruck auf der anderen Seite der Differentialgleichung.

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland



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