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| Autor |
 Isomorphie von Ringen, Primideale |
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marlina23
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.04.2016
Mitteilungen: 76
 |  Themenstart: 2017-02-21
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Hallo,
ich verzweifle gerade an einer Aufgabe... Ich hoffe ihr könnt mir helfen
Sei
R:=\IZ[X]//(X^2),
\alpha:=\pi(x) mit \pi:\IZ[X]->R,
I:= \alpha R
Wie kann man zeigen, dass
1. R isomorph ist zu
menge((a,b;0,a)|a,b\el\ \IZ)von \IZ^2x2
2. I aus den Nullteilern besteht?
3. R/I isomorph zu Z ist?
4. die Menge der Primideale in R aus I und allen pZxZ besteht, mit p als Primzahl...
Bei Drittens könnte ich mir vorstellen das mit der universellen Eigenschaft irgendwie machen zu können. Bei den anderen Teilaufgaben habe ich leider überhaupt keinen Plan...
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-21
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Die Elemente von $R$ haben die Form $a + b \alpha$ mit $a,b \in \mathds{Z}$, und es gilt $\alpha^2=0$.
Jetzt sollten 1. und 2. leicht fallen.
Ja, bei 3. wendet man den Isomorphiesatz für Ringe an.
Zu 4. Die Primideale in $\mathds{Z}[X]/(X^2)$ stehen in Bijektion zu den Primidealen in $ \mathds{Z}[X]$, die $X^2$ enthalten (Satz zur Idealkorrespondenz). Das ist genau dann der Fall, wenn sie $X$ enthalten (Definition des Primideals). Also geht es letztlich um Primideale in $\mathds{Z}[X]/(X)$, was zu $\mathds{Z}$ isomorph ist. Die Primideale von $\mathds{Z}$ kennt man aber. Verfolgt man die Bijektionen zurück, bekommt man die genannten Primideale.
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marlina23
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.04.2016
Mitteilungen: 76
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-21
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Aber warum haben die Elemente von R diese Form bzw. woran sieht man das?
Für zweitens muss also für jedes (a+bα) aus I ein z aus R\{0} existieren, so dass z*(a+bα)=za+zbα=0. Jetzt müsste immer bα=-a sein und dann hätten wir es gezeigt?
Für erstens blicke ich leider immer noch gar nichts :/
Und für drittens müsste ich dann zeigen, dass I im Kern einer Abbildung von Z[X]/(X^2) nach Z enthalten ist, oder..? aber mit welcher Abbildung denn?
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Bai
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Dabei seit: 11.09.2014
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| Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-21
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\quoteon(2017-02-21 21:16 - marlina23 in Beitrag No. 2)
Aber warum haben die Elemente von R diese Form bzw. woran sieht man das?
\quoteoff
$\alpha$ ist das Bild der Projektion von $X$ auf seine Nebenklasse. Im Faktorring R gibt es aber nur Polynome vom Grad 1,0 und $-\infty$, sie haben also alle die Form $a+b\overline X$.
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marlina23
Ehemals Aktiv
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-21
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Achso, das verstehe ich!
Aber warum daraus folgt, dass I die Nullteiler sind verstehe ich nicht...
Und die anderen Fragen bleiben auch noch offen..
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1251
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-02-21
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\quoteon(2017-02-21 22:30 - marlina23 in Beitrag No. 4)
Aber warum daraus folgt, dass I die Nullteiler sind verstehe ich nicht...
\quoteoff
Wie sehen denn die Elemente in I aus?
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marlina23
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Dabei seit: 03.04.2016
Mitteilungen: 76
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-22
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αR=((a+bx)*Z[x]) mod (x^2)
So?
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1251
| Beitrag No.7, eingetragen 2017-02-22
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\quoteon(2017-02-22 00:30 - marlina23 in Beitrag No. 6)
αR=((a+bx)*Z[x]) mod (x^2)
So?
\quoteoff
Eher nicht. Vielleicht tust du dich einfacher, wenn du das $\alpha$ verwendest und dir noch einmal in Erinnerung rufst, wie die Elemente in R aussehen.
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