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| Autor |
  Messbarer Raum, Äquivalenz, Erzeuger |
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 |  Themenstart: 2017-03-04
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Hallo,
ich bitte darum meine Gedanken zu folgender Aufgabe zu prüfen:
Es sei $(\Omega,\mathcal{M})$ ein messbarer Raum und $T:\Omega\to\mathbb{R}$.
Zeigen Sie, dass $T$ genau dann $\mathcal{M}-\mathcal{B}(\mathbb{R})$ messbar ist, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
a) $T^{-1}((-\infty, t))\in\mathcal{M}$
b) $T^{-1}((-\infty,t])\in\mathcal{M}$
c) $T^{-1}((t,\infty))\in\mathcal{M}$
d) $T^{-1}([t,\infty))\in\mathcal{M}$, für alle $t\in\mathbb{R}$
Die Implikation "$\Rightarrow$" ist trivial.
Wenn $T$ messbar ist, dann sind Urbilder offener Mengen offen.
Die Implikation "$\Leftarrow$" sollte auch nicht schwerer sein.
Jedes aufgeführte Intervall, ist ein Erzeuger \mathcal{E} von $\mathcal{B}(\mathbb{R})$.
Und eine der Bedingungen ist nach Voraussetzungen erfüllt.
Nach einem Satz gilt für jedes Erzeugendensystem $\mathcal{E}$ von $\mathcal{B}(\mathbb{R})$
$T^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))=T^{-1}(\sigma(\mathcal{E}))=\sigma(T^{-1}(\mathcal{E}))$
Vielen Dank im voraus für jegliche Anmerkung.
Liebe Grüße.
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 Profil
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2024
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-04
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Hey PrinzessinEinhorn
\quoteon(2017-03-04 04:25 - PrinzessinEinhorn im Themenstart)
Die Implikation "$\Rightarrow$" ist trivial.
Wenn $T$ messbar ist, dann sind Urbilder offener Mengen offen.
\quoteoff
Da verwechselst du was. Dass Urbilder offener Mengen offen sind, charakterisiert gerade stetige Funktionen, aber nicht messbare. Außerdem ist ja gar nicht erklärt, was eigentlich eine offene Menge in $\mathcal{M}$ sein soll.
Für messbare Funktionen sind Urbilder messbarer Mengen messbar und deswegen ist diese Implikation in der Tat trivial.
\quoteon(2017-03-04 04:25 - PrinzessinEinhorn im Themenstart)
Die Implikation "$\Leftarrow$" sollte auch nicht schwerer sein.
Jedes aufgeführte Intervall, ist ein Erzeuger \mathcal{E} von $\mathcal{B}(\mathbb{R})$.
Und eine der Bedingungen ist nach Voraussetzungen erfüllt.
Nach einem Satz gilt für jedes Erzeugendensystem $\mathcal{E}$ von $\mathcal{B}(\mathbb{R})$
$T^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))=T^{-1}(\sigma(\mathcal{E}))=\sigma(T^{-1}(\mathcal{E}))$
Vielen Dank im voraus für jegliche Anmerkung.
Liebe Grüße.
\quoteoff
Ein einzelnes Intervall erzeugt nicht die Borel'sche $\sigma$-Algebra, aber du meinst wohl, dass jeweils alle Intervalle der Form in a) bis d) die Borel'sche $\sigma$-Algebra erzeugen, das ist richtig.
In wiefern hilft dir jetzt der von dir angegebene Satz für die Rückrichtung?
Benutz lieber folgenden Satz von die Rückrichtung:
Seien $(\Omega_1, \mathcal{M}_1)$, $(\Omega_2, \mathcal{M}_2)$ Maßräume, $T: \Omega_1 \to \Omega_2$ eine Abbildung und $\mathcal{E}_2$ ein Erzeuger von $\mathcal{M}_2$. Dann sind äquivalent:
(i) $T$ ist $\mathcal{M}_1 - \mathcal{M}_2$ messbar
(ii) Für alle $A_2 \in \mathcal{E}_2$ gilt: $T^{-1}(A_2) \in \mathcal{M}_1$
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-05
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\quoteon
Für messbare Funktionen sind Urbilder messbarer Mengen messbar
\quoteoff
Ja, das wollte ich auch eigentlich schreiben...
Ich möchte also zeigen, dass
$T^{-1}(\mathcal{E}')=\{\omega\in\Omega| T(\omega)\in\mathcal{E}'\}\subseteq\mathcal{M}$
gilt.
Oh man, ich habe hier jetzt irgendwie viel zu lange überlegt, aber diese Richtung ist doch auch trivial. Es gilt ja wieder nach Voraussetzung, dass $T^{-1}(A)\in\mathcal{M}$ für alle $A\in\mathcal{E}$.
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Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2024
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-05
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\quoteon(2017-03-05 05:25 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 2)
Ich möchte also zeigen, dass
$T^{-1}(\mathcal{E}')=\{\omega\in\Omega| T(\omega)\in\mathcal{E}'\}\subseteq\mathcal{M}$
\quoteoff
Das ergibt keinen Sinn. $\mathcal{E}'$ ist eine Teilmenge der Potenzmenge von $\mathbb{R}$, die Elemente von $\mathcal{E}'$ sind also Teilmengen von $\mathbb{R}$.
Für ein $\omega \in \Omega$ ist $T(\omega) \in \mathbb{R}$. Es macht also keinen Sinn $T(\omega) \in \mathcal{E}'$ zu schreiben.
Du möchtest viel eher zeigen:
$T^{-1}(A')=\{ \omega \in \Omega; T(\omega) \in A' \} \in \mathcal{M}$ für alle $A' \in \mathcal{E}'$
Und ja, auch diese Richtung ist dann trivial (sofern man diesen Satz kennt)
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-05
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Ja, der Satz ist bekannt.
Im Endeffekt ergibt er sich ja auch direkt aus dem was ich in meinem ersten Beitrag versuchen wollte.
Vielen Dank.
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PrinzessinEinhorn hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
PrinzessinEinhorn hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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