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Strukturen und Algebra » Ringe » Nullstellensatz geometrisch
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Universität/Hochschule Nullstellensatz geometrisch
KidinK
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  Themenstart: 2017-03-04

Ich habe einige sehr unklare Fragen zum Nullstellensatz und affinen Varietäten in meinem Kopf herumschwirren. Zunächst möchte ich einige Terminologie klären: Es sei $k$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $K$, $X:=(X_i)_{i\in I}$, wobei $I$ eine endliche Indexmenge sei. Definiere den affinen Raum $\mathbb{A}_k^X:=\{x=(x_i)_{i\in I}\mid x_i\in k\}$. Für eine Teilmenge $M\subseteq\mathbb{A}_k^X$ habe ich einen Homomorphismus $k[X]\longrightarrow k^M:=\prod_{x\in M}k$, welcher in der Komponente $x$ durch die Auswertung eines Polynoms an $x$ gegeben sei. Ich schreibe $k[M]$ für das Bild, $X^i\in k[M]$ für die Bilder der $X_i$. Beachte, dass $k[M]$ reduziert ist, da $k^M$ als Produkt reduzierter Ringe reduziert ist. Ist $I\trianglelefteq k[X]$ ein Ideal, so heißt eine Menge der Form $V(I)=\{x\in \mathbb{A}_k^X\mid f(x)=0\ \forall f\in I\}$ eine affine algebraische Menge. Ist $V$ eine affine algebraische Menge, so liefert jede Teilmenge $M\subseteq V$ ein Ideal $I(M)=\ker(-|_M\colon k[V]\longrightarrow k[M])\trianglelefteq k[V]$ und jedes Ideal $I\trianglelefteq k[V]$ liefert eine Teilmenge $V(I)=\{x\in\mathbb{A}_k^X \mid f(x)=0\ \forall f\in I\}$. Die $V(I)$ bilden die abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf $V$. Für $x\in V$ ist $\mathfrak{p}_x:=\ker(\operatorname{ev}_x\colon k[V]\longrightarrow k)$ ein Primideal. $V$ heißt affine Varietät, falls $k[V]$ ein Integritätsbereich ist. In dem Fall setze $k(V):=\operatorname{Quot}(k[V])$. Für $x\in V$ schreibe $\mathcal{O}_{V,x}:=k[V]_{\mathfrak{p}_x}$. Wir erhalten eine Garbe $\mathcal{O}_V(U)=\{s=(s_x)_{x\in U}\in\prod_{x\in U}\mathcal{O}_{V,x}\mid s_x=s_y\textnormal{ in }k(V)\ \forall x,y\in U\}$ und diese bettet auf offensichtliche Weise in die Garbe aller $K$-wertigen Funktionen ein. Die Halme sind das, was die Notation suggeriert. Das Bild nennen wir die Garbe der regulären Funktionen auf $V$. Das ist alles nichts neues, wird aber normalerweise nur für algebraisch abgeschlossene Körper hingeschrieben. Falls $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist, so besagt der "Schwache Nullstellensatz": Ist $V$ eine affine Varietät und $I\trianglelefteq k[V]$ ein Ideal mit $V(I)=\emptyset$, so ist $I=(1)$. Oder umgekehrt und passend zum Namen: Falls sich eine Familie polynomieller Funktionen nicht linear zur $1$ kombinieren lässt, so gibt es eine gemeinsame Nullstelle. Man beachte, dass hieraus folgt: Ist $V$ eine affine Varietät, so ist jede globale reguläre Funktion auf $V$ polynomiell. Sei nämlich $f$ regulär und $I=\{g\in k[V]\mid gf\in k[V]\}$. Für jedes $x\in V$ gibt es eine Umgebung $U$ mit $f=h/g$ auf $U$ und somit $gf=h$ auf $U$. Dann gilt aber bereits $gf=h$ auf ganz $V$, also $g\in I$. Da $g(x)\not=0$ gilt, ist $x\notin V(I)$. Dies zeigt, dass $V(I)=\emptyset$, also $1\in I$ und somit $f\in k[V]$. Frage 1: Nun kennt man also globale Schnitte und Halme der Garbe der regulären Funktionen. Kann man irgendwie auf garbentheoretischem Weg folgern, dass $\mathcal{O}_V(D(f))=k[V]_f$ gilt? Frage 2: Folgt aus $\mathcal{O}_V(D(f))=k[V]_f$ irgendwie der starke Nullstellensatz? Frage 3: Besitzt der starke Nullstellensatz eine geometrische Formulierung, in der also am besten nur über Varietäten und Funktionen auf Varietäten geredet wird? Zu Frage 2: Eine ähnliche Frage stelle ich mir bei der Strukturgarbe des Spektrums eines kommutativen Ringes. Angenommen ich definiere, wie Harshorne, die Strukturgarbe als die Garbe der Schnitte des étalen Raums der Prägarbe $\mathcal{F}(U)=(A\setminus\bigcup_{\mathfrak{p}\in U}\mathfrak{p})^{-1}A$ und weiß, dass der Halm an $\mathfrak{p}$ durch $A_\mathfrak{p}$ gegeben ist. Nun möchte ich zeigen, dass $\mathcal{O}(D(f))=A_f$ gilt. Kann ich mich ohne Einschränkung auf den Fall $f=1$ zurückziehen? Liebe Grüße, KidinK


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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-04

Die Fragen sind schwer zu beantworten, weil du die Methoden vorgibst, aber auch nicht ganz präzise dabei bist. Es wäre einfacher, einfach danach zu fragen, ob etwas gilt. Mir ist auch nicht klar, welche der Aussagen dir bereits anderweitig klar sind. Ferner wäre eine Motivation wünschenswert, warum du diesen Varietätenbegriff definierst. Für Ringe verwendet man Schemata, die ja den gesamten Ring rekonstruieren können, wogegen Varietäten im klassischen Sinne nur die rationalen Punkte rekonstruieren. Und: Es ist immer angenehmer, geometrische Objekte ohne einen Referenzraum, also auch abstrakt definieren zu können. 1. Dafür müsstest du D(f) als affine Varietät realisieren. Füge dazu eine neue Variable Y hinzu und die Gleichung Yf=1. 2. Zumindest kann man damit den starken aus dem schwachen folgern. 3. Warum hat denn der starke Nullstellensatz nicht diese Form?


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