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| Autor |
  primitive Funktionen |
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 |  Themenstart: 2017-03-07
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Hallo,
ich möchte folgenden Beweis führen:
Seien $(\Omega,\mathcal{M})$ ein messbarer Raum, $f,g$ primitive Funktionen und $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Dann sind auch
$\alpha f+\beta g, f\cdot g, f\vee g, f\wedge g$
wieder primitive Funktionen. Dabei bezeichnet $\vee$ und $\wedge$ Maximum bzw. Minimum.
Beweis:
$f=\sum_{j=1}^n \alpha_j\chi_{A_j}$
$g=\sum_{j=1}^m \beta_j\chi_{B_j}$ und ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $m\geq n$.
Für alle $j>n$ sei $A_j=\emptsyset$, also
$f=\sum_{j=1}^n \alpha_j\chi_{A_j}=\sum_{j=1}^m \alpha_j\chi_{A_j}$
Nun ist $\alph f+\beta g=\alpha\sum_{j=1}^m \alpha_j\chi_{A_j}+\beta\sum_{j=1}^m \beta_j\chi_{B_j}$
$\alpha_j':=\alpha\cdot\alpha_j$ für alle $j$
Und wir definieren analog $\beta'_j$
Damit erhalten wir:
$\sum_{j=1}^m \alpha'_j\chi_{A_j}+\beta'_j\chi_{B_j}$
Dies wäre nun ja noch nicht eine primitive Funktion nach Definition, oder?
Ich muss es so schreiben:
$\sum_{j=1}^m \underbrace{\left(\alpha'_j\chi_{A_j}+\beta'_j\chi_{B_j})\right}_{:=\gamma_j}\chi_{A_j\cup B_j}$
Oder ist das nicht notwendig?
Zum Produkt:
$f\cdot g=\left(\sum_{j=1}^n \alpha_j\chi_{A_j}\right)\left(\sum_{j=1}^m \beta_j\chi_{B_j}\right)$
$=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m \alpha_j\beta_i\chi_{A_j\cup B_i}$
Zuvor habe ich ja gezeigt, dass die Summe primitiver Funktionen, wieder primitiv ist.
Also ist auch obiger Ausdruck wieder eine primitive Funktion.
Wenn ich die Aussage für das Maximum zeige, dann folgt es direkt auch für das Minimum.
Es ist:
$f\vee g=\max\{f,g\}=\frac{f+g+|f-g|}{2}$
Ich müsste also nur zeigen, dass der Betrag einer primitiven Funktion, wieder primitiv ist.
Sei also $f$ eine primitive Funktion. Dann muss ich zeigen, dass |f| primitiv ist. Und wegen
$|f|=f^++f^-$ reicht es, dass ich zeige $f^+:=f\vee 0$ ist eine primitive Funktion.
Ich muss also alle negativen Funktionswerte durch eine Null ersetzen.
Das sollte eigentlich recht leicht möglich sein.
Ich sondere alle $x\in\bigcup_{j=1}^n A_i$ für die $f(x)=\sum_j^n a_i\chi_{A_i}(x)<0$ aus. Und definiere so neue Mengen $A^x_i$, eben ohne diese x.
Dann sollte die Funktion
$f^+=\sum_{i=1}^n a_i\chi_{A^x_i}=f\vee 0$ gelten, und primitiv sein.
Damit folgt die Behauptung für das Maximum. Und für das Minimum gilt es dann nach diesem Zusammenhang:
$max\{f,g\}=-min\{-f,-g\}$
Liebe Grüße
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hippias
Senior 
Dabei seit: 06.01.2017
Mitteilungen: 317
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-07
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\quoteon(2017-03-07 02:39 - PrinzessinEinhorn im Themenstart)
Hallo,
ich möchte folgenden Beweis führen:
Seien $(\Omega,\mathcal{M})$ ein messbarer Raum, $f,g$ primitive Funktionen und $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Dann sind auch
$\alpha f+\beta g, f\cdot g, f\vee g, f\wedge g$
wieder primitive Funktionen. Dabei bezeichnet $\vee$ und $\wedge$ Maximum bzw. Minimum.
\quoteoff
Es wäre nützlich zu wissen, welche Definition bzw. welches Kriterium Du benutzen möchtest. Im folgenden gehe ich davon aus, dass eine Linearkombination von messbaren charakteristischen Funktionen primitiv ist.
\quoteon
Beweis:
$f=\sum_{j=1}^n \alpha_j\chi_{A_j}$
$g=\sum_{j=1}^m \beta_j\chi_{B_j}$ und ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $m\geq n$.
Für alle $j>n$ sei $A_j=\emptsyset$, also
$f=\sum_{j=1}^n \alpha_j\chi_{A_j}=\sum_{j=1}^m \alpha_j\chi_{A_j}$
Nun ist $\alph f+\beta g=\alpha\sum_{j=1}^m \alpha_j\chi_{A_j}+\beta\sum_{j=1}^m \beta_j\chi_{B_j}$
$\alpha_j':=\alpha\cdot\alpha_j$ für alle $j$
Und wir definieren analog $\beta'_j$
Damit erhalten wir:
$\sum_{j=1}^m \alpha'_j\chi_{A_j}+\beta'_j\chi_{B_j}$
Dies wäre nun ja noch nicht eine primitive Funktion nach Definition, oder?
\quoteoff
Doch, das reicht aus (s.o.)
\quoteon
Ich muss es so schreiben:
$\sum_{j=1}^m \underbrace{\left(\alpha'_j\chi_{A_j}+\beta'_j\chi_{B_j})\right}_{:=\gamma_j}\chi_{A_j\cup B_j}$
Oder ist das nicht notwendig?
Zum Produkt:
$f\cdot g=\left(\sum_{j=1}^n \alpha_j\chi_{A_j}\right)\left(\sum_{j=1}^m \beta_j\chi_{B_j}\right)$
$=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m \alpha_j\beta_i\chi_{A_j\cup B_i}$
Zuvor habe ich ja gezeigt, dass die Summe primitiver Funktionen, wieder primitiv ist.
Also ist auch obiger Ausdruck wieder eine primitive Funktion.
\quoteoff
Achtung: $\chi_{A}\cdot \chi_{B}\neq \chi_{A\cup B}$! Aber sonst ist das ganz richtig. Denke auch daran, dass die involvierten charakteristischen Funktionen messbar sein müssen, also solltest Du auch darüber ein paar Worte verlieren.
\quoteon
Wenn ich die Aussage für das Maximum zeige, dann folgt es direkt auch für das Minimum.
Es ist:
$f\vee g=\max\{f,g\}=\frac{f+g+|f-g|}{2}$
Ich müsste also nur zeigen, dass der Betrag einer primitiven Funktion, wieder primitiv ist.
Sei also $f$ eine primitive Funktion. Dann muss ich zeigen, dass |f| primitiv ist. Und wegen
$|f|=f^++f^-$ reicht es, dass ich zeige $f^+:=f\vee 0$ ist eine primitive Funktion.
Ich muss also alle negativen Funktionswerte durch eine Null ersetzen.
Das sollte eigentlich recht leicht möglich sein.
Ich sondere alle $x\in\bigcup_{j=1}^n A_i$ für die $f(x)=\sum_j^n a_i\chi_{A_i}(x)<0$ aus. Und definiere so neue Mengen $A^x_i$, eben ohne diese x.
Dann sollte die Funktion
$f^+=\sum_{i=1}^n a_i\chi_{A^x_i}=f\vee 0$ gelten, und primitiv sein.
Damit folgt die Behauptung für das Maximum.
\quoteoff
Das ist schon ganz richtig sollte aber genauer ausgeführt werden: wie genau lauten die neuen Mengen und sind sie messbar? Vielleicht hilft eine Induktion nach der Anzahl der Summanden.
\quoteon
Und für das Minimum gilt es dann nach diesem Zusammenhang:
$max\{f,g\}=-min\{-f,-g\}$
Liebe Grüße
\quoteoff
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Profil
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-07
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\quoteon
Achtung: $\chi_{A}\cdot \chi_{B}\neq \chi_{A\cup B}$!
\quoteoff
Entschuldigung, das ist ein Tippfehler. Gemeint war natürlich der Mengenschnitt.
\quoteon
Es wäre nützlich zu wissen, welche Definition bzw. welches Kriterium Du benutzen möchtest.
\quoteoff
Wir definieren eine primitive Funktion wie folgt:
Seien $(\Omega,\mathcal{M})$ ein messbarer Raum, $A_1,\dotso, A_n$ Mengen aus $\mathcal{M}$ und $\alpha_1,\dotso,\alpha_n\in\mathbb{R}$. Die $\mathcal{M}$ messbare reelle Funktion
$f=\sum_{j=1}^n \alpha_j\chi_{A_j}$
heißt primitive Funktion.
Ich habe gerade keine Zeit eine ausführlichere Fassung aufzuschreiben, denke aber auch, dass ich das nun hinbekomme, hole es aber gegebenenfalls nach.
Ich setze mal das Häkchen. :)
Vielen Dank.
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PrinzessinEinhorn hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
PrinzessinEinhorn hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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