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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Was hat Yoneda mit diesem Sprichwort zu tun?
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Universität/Hochschule J Was hat Yoneda mit diesem Sprichwort zu tun?
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-03-21


Sprichwort (klicke evtl. hier): "Sag mir, wer deine Freunde sind, und ich sag dir, wer du bist."

Yoneda-Lemma: Es seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Objekte in einer Kategorie und für alle Objekte <math>A</math> sei eine Funktion <math>f_A\colon \mathsf{mor}(A, X)\to \mathsf{mor}(A, Y)</math> vorgelegt. Nimm außerdem an, dass folgende Bedingung gilt:
<math>f_B(x\circ h) = f_A(x)\circ h</math> für alle Objekte <math>A, B</math> und Morphismen <math>h\colon B\to A</math> und <math>x\colon A\to X</math>.
Dann gibt es genau einen Morphismus <math>f\colon X\to Y</math> mit <math>f_A(x) = f\circ x</math> für alle Objekte <math>A</math> und Morphismen <math>x\colon A\to X</math>.

Frage: Was hat das Yoneda-Lemma (in dieser Formulierung) mit obigem Spruch zu tun? Wenn die angegebene Formulierung des Yoneda-Lemmas nicht so viel mit dem Spruch zu tun hat, wie kann man das Yoneda-Lemma verständlich anders formulieren derart, dass es mit dem Spruch etwas zu tun hat?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-21


Eine Folgerung aus dem Yoneda-Lemma ist: Aus <math>\hom(-,X) \cong \hom(-,Y)</math> (als Funktoren) folgt <math>X \cong Y</math>. Zwei Objekte sind also isomorph, wenn die zugehörigen darstellbaren Funktoren isomorph sind.
 
Jetzt kann man sich vorstellen, dass ein Morphismus <math>A \to X</math> bedeutet, dass <math>A</math> mit <math>X</math> befreundet ist. Hierbei kann der Morphismus selbst als die Qualität der Freundschaft verstanden werden. Ist es jetzt klarer?
 
Weil Freundschaft in der Regel etwas symmetrisches ist bzw sein sollte, aber Morphismen <math>A \to X</math> nicht gleich Morphismen <math>X \to A</math> sind, wäre eine asymmetrische Interpretation sinnvoll: Man kann einen Morphismus <math>A \to X</math> als einen Kontakt deuten (etwa ein Telefonanruf, oder eine E-Mail), der von <math>A</math> ausgeht und sich an <math>X</math> richtet. Insofern ist also <math>X</math> durch die an <math>X</math> gerichteten Kontakte bestimmt.
 
Das Yoneda-Lemma besitzt, wie so viele Konzepte der reinen Kategorientheorie, auch eine Dualisierung, die <math>\hom(X,-) \cong \hom(Y,-) \Rightarrow X \cong Y</math> impliziert. Das könnte man so deuten, dass <math>X</math> durch die von <math>X</math> ausgehenden Kontakte bestimmt ist.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21


Vielen Dank, Triceratops!

Diesen Punkt verstehe ich nicht:

Hierbei kann der Morphismus selbst als die Qualität der Freundschaft verstanden werden.

Wie meinst du das? Unter "Qualität einer Freundschaft" verstehe ich sowas wie "gut", "mittel" oder "best friends forever". Du meinst jetzt also, wenn bspw. "gut" im Hom-set
    mor(A, B)
liegt, dann bedeutet das, dass die Person A "gut" mit Person B befreundet ist? Aber dann kann keine weitere Beziehung zwischen zwei Personen "gut" sein, weil ein Morphismus nur in einem hom-set vorkommen darf (die sollen ja per Def. disjunkt sein).

Die "Kontakt"-Interpretation von Mor(A, B) ist für mich aber verständlich.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-21


Es ist nur eine Analogie. Daher ist es nicht zielführend, derart präzise dagegen argumentieren zu wollen. Ich wollte nur sagen, dass man den Morphismen A -> X auch Namen geben kann, die dann etwas über die Art der Freundschaft aussagen. Morphismen und Freundschaften ist dann gemein, dass es nicht nur darum geht, dass sie existieren, sondern wie sie aussehen.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21


Danke, jetzt ist's klar!

2017-03-21 21:56 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Eine Folgerung aus dem Yoneda-Lemma ist: Aus <math>\hom(-,X) \cong \hom(-,Y)</math> (als Funktoren) folgt <math>X \cong Y</math>. Zwei Objekte sind also isomorph, wenn die zugehörigen darstellbaren Funktoren isomorph sind.

Ist diese Formulierung nicht nur eine Folgerung, sondern auch äquivalent zu der von mir gegeben Formulierung? (Mir ist klar, dass die Aussagen in dem Sinne äquivalent sind, dass sie beide wahr sind. Diese Frage zielt aber eher darauf ab, ob man auch aus deiner Formulierung meine folgern kann.)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-03-21


Nein. Nicht jeder Morphismus von Funktoren ist ein Isomorphismus.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21


Hab ich mich evtl. missverständlich ausgedrückt?

Du hast gesagt, dass diese Formulierung von Yoneda:

Es seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Objekte in einer Kategorie und für alle Objekte <math>A</math> sei eine Funktion <math>f_A\colon \mathsf{mor}(A, X)\to \mathsf{mor}(A, Y)</math> vorgelegt. Nimm außerdem an, dass folgende Bedingung gilt:
<math>f_B(x\circ h) = f_A(x)\circ h</math> für alle Objekte <math>A, B</math> und Morphismen <math>h\colon B\to A</math> und <math>x\colon A\to X</math>.
Dann gibt es genau einen Morphismus <math>f\colon X\to Y</math> mit <math>f_A(x) = f\circ x</math> für alle Objekte <math>A</math> und Morphismen <math>x\colon A\to X</math>.
das hier impliziert:

Aus <math>\hom(-,X) \cong \hom(-,Y)</math> (als Funktoren) folgt <math>X \cong Y</math>.

Ich frage, ob nun conversely auch

Aus <math>\hom(-,X) \cong \hom(-,Y)</math> (als Funktoren) folgt <math>X \cong Y</math>.
impliziert, dass gilt:

Es seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Objekte in einer Kategorie und für alle Objekte <math>A</math> sei eine Funktion <math>f_A\colon \mathsf{mor}(A, X)\to \mathsf{mor}(A, Y)</math> vorgelegt. Nimm außerdem an, dass folgende Bedingung gilt:
<math>f_B(x\circ h) = f_A(x)\circ h</math> für alle Objekte <math>A, B</math> und Morphismen <math>h\colon B\to A</math> und <math>x\colon A\to X</math>.
Dann gibt es genau einen Morphismus <math>f\colon X\to Y</math> mit <math>f_A(x) = f\circ x</math> für alle Objekte <math>A</math> und Morphismen <math>x\colon A\to X</math>.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-03-21


Ja, und ich habe dir darauf bereits geantwortet.

Die Formulierung im Startbeitrag ist, dass jeder Morphismus von Funktoren <math>\hom(-,X) \to \hom(-,Y)</math> von einem eindeutigen Morphismus <math>X \to Y</math> induziert wird.

Die Folgerung ist: Wenn <math>\hom(-,X)</math> zu <math>\hom(-,Y)</math> isomorph ist, dann ist <math>X</math> zu <math>Y</math> isomorph.

Eine noch präzisere Folgerung ist: Jeder Isomorphismus von Funktoren <math>\hom(-,X) \xrightarrow{ ~ \cong ~ } \hom(-,Y)</math> wird von einem eindeutigen Isomorphismus <math>X \xrightarrow{ ~ \cong ~ } Y</math> induziert. Aber selbst das ist eine schwächere Aussage als das Yoneda-Lemma, was über beliebige Morphismen von darstellbaren Funktoren spricht.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21


2017-03-21 23:13 - Triceratops in Beitrag No. 7 schreibt:
Ja, und ich habe dir darauf bereits geantwortet.

Wo?


Die Formulierung im Startbeitrag ist, dass jeder Morphismus von Funktoren <math>\hom(-,X) \to \hom(-,Y)</math> von einem eindeutigen Morphismus <math>X \to Y</math> induziert wird.

Die Folgerung ist: Wenn <math>\hom(-,X)</math> zu <math>\hom(-,Y)</math> isomorph ist, dann ist <math>X</math> zu <math>Y</math> isomorph.

Das sagtest du bereits. Ich frage, ob andersrum aus

Wenn <math>\hom(-,X)</math> zu <math>\hom(-,Y)</math> isomorph ist, dann ist <math>X</math> zu <math>Y</math> isomorph.
die Formulierung aus dem Startbeitrag folgt.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-03-21


Die Antwort ist: Nein.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-22


Danke!

1. Könnte man also sagen, dass sich die Analogie nur auf diese Folgerung:

Aus <math>\hom(-,X) \cong \hom(-,Y)</math> (als Funktoren) folgt <math>X \cong Y</math>.
aus dem Yoneda-Lemma bezieht anstatt auf das "eigentliche" Yoneda-Lemma (wie formuliert bspw. im Startpost)?

2. Wenn

Aus <math>\hom(-,X) \cong \hom(-,Y)</math> (als Funktoren) folgt <math>X \cong Y</math>.
nicht das "volle" Yoneda-Lemma ist, wie ist dann dieses Zitat von jmc aus dem Mathoverflow-Thread zu verstehen?:


The whole point of the Yoneda lemma is that an object x in a category C is fully determined by the functor Hom(_,x).




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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-03-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ich würde ja mal vorschlagen, um der Sache auf den Grund zu gehen, erstmal Präordnungen zu betrachten. Die Yoneda-bezüglichen Behauptungen sollten auch da gelten, da das nur ein Spezialfall ist.
Die Aussage des Yoneda-Lemmas in dieser Form ist : Wenn P ein monotones Prädikat auf einer prägeordneten Menge A ist (d.h. <math>\forall x,y \in A.\ x\leq y \implies P(x) \Rightarrow P(y)</math>), dann für alle <math>a\in A:</math> <math>P(a) \Leftrightarrow \forall x\in A.\ a \leq x \Rightarrow P(x)</math>.
Bzw. andersrum (man nehme <math>A^\text{op}</math> statt <math>A</math>): wenn P ein antitones Prädikat auf einer prägeordneten Menge A ist (d.h. <math>\forall x,y\in A.\ x\leq y \implies P(y) \Rightarrow P(x)</math>), dann für alle <math>a\in A:</math> <math>P(a) \Leftrightarrow \forall x\in A.\ x\leq a \Rightarrow P(x).</math>
(Wirklich "dual" wäre hier 'was mit <math>\exists,\land</math> statt <math>\forall, \Rightarrow</math>; und im allgemeineren Kontext Koenden statt Enden; hier egal.)
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-03-22


@Beitrag 10: 1. Ja. 2. Weil man in vielen Situation nur den Spezialfall braucht. Es ist nicht ratsam, immer alles wörtlich zu nehmen, vor allem wenn es um informelle Beschreibungen geht.
 
@Beitrag 11: Hier geht es ja sowieso nur um darstellbare Funktoren. Das Yoneda-Lemma für Präordnungen sagt in diesem Fall:

Für zwei Elemente <math>x,y</math> ist <math>x \leq y</math> mit

<math>\forall p : p \leq x \Rightarrow p \leq y</math>
 
äquivalent. Und tatsächlich ist das obgleich ihrer Trivialität eine nützliche Aussage.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-22


2017-03-22 22:57 - Triceratops in Beitrag No. 12 schreibt:
@Beitrag 10: 1. Ja. 2. Weil man in vielen Situation nur den Spezialfall braucht. Es ist nicht ratsam, immer alles wörtlich zu nehmen, vor allem wenn es um informelle Beschreibungen geht.

Danke! Vielen Dank!



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-24


Beobachtung: Man kann <math>\cong</math> auch durch <math>=</math> ersetzen:
Wenn <math>hom(-, X) = hom(-, Y)\implies X = Y</math>.
Beweis: Nach Voraussetzung insbesondere <math>hom(X, X) = hom(X, Y)</math>, folglich auch <math>id_X \in hom(X, Y)</math>. Angenommen, <math>X\not = Y</math>. Dann <math>hom(X, X)\cap hom(X, Y)=\emptyset</math>, da verschiedene hom-sets disjunkt sind. Aber <math>hom(X, X)\ni id_X\in hom(X, Y)</math> ist von beiden hom-sets ein Element. Also <math>X = Y</math>.

Bemerkung: Dieser Beweis verwendet, dass verschiedene Hom-sets disjunkt sind: <math>(X, Y)\not = (A, B)\implies hom(X, Y)\cap hom(A, B)= \emptyset</math>. Tactac hat mal gesagt, dass er diese Forderung in der Definition von "Kategorie" sinnlos findet. Frage:
Gilt die Aussage mit <math>=</math> statt <math>\cong</math> auch dann, wenn man die Forderung, dass verschiedene Hom-sets disjunkt sind, weglässt? Brauch man dazu das Yoneda-Lemma?

In "modernen" Fundierungen soll es ja nicht unbedingt immer Gleichheit zwischen Objekten geben; für die Frage soll aber angenommen werden, dass wir in einer materiellen Mengenlehre arbeiten, in der es dies gibt.



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KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-03-24


1. Ohne Disjunktheit geht das nicht.
2. Das Yoneda-Lemma hat hiermit nichts zu tun.
3. Diese Beobachtung hat keine Anwendungen.

Liebe Grüße,
KidinK



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-24


Toll! Danke!



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