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Analysis » Maßtheorie » Produkt-Sigma-Algebra
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Universität/Hochschule Produkt-Sigma-Algebra
EpsilonDelta
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  Themenstart: 2017-03-26

Die Produkt Sigma Algebra ist definiert als $\bigotimes_{i \in I} \mathcal{A}_i = \sigma\biggl(\bigcup_{i \in I}\pi_i^{-1}(\mathcal{A}_i)\biggr)$ wobei $\textstyle \pi _{i}\colon \Omega \rightarrow \Omega _{i}$ die Projektion auf die i-te Komponente ist und $\mathcal{A}_i$ eine Sigma Algebra. Es gibt für die Bildung ein konkretes Beispiel, nämlich $(\Omega_1,\mathcal{A}_1) = (\{K,Z\},\{\emptyset,\{K\},\{Z\},\{K,Z\}\})$, $(\Omega_2,\mathcal{A}_2) = (\{a,b\},\{\emptyset,\{a,b\}\})$ und die Sigma Algebra ist dann ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}=\{\emptyset ,\{(K,a),(K,b)\},\{(Z,a),(Z,b)\},\{(K,b),(Z,b),(K,a),(Z,a)\}\}$ Siehe hier Ich kann diese Bildung aber nicht reproduzieren. Ich denke, dass ich die Definition verstehe, aber ich kann das Beispiel einfach nicht nachmachen. Kann mich jemand durch dieses Beispiel führen?

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-26

Betrachte allgemeiner irgendeine $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}_1$ auf $\Omega_1$ und die spezielle $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}_2 = \{\emptyset,\Omega_2\}$ auf $\Omega_2$. Für die Projektion $p_2 : \Omega_1 \times \Omega_2 \to \Omega_2$ gilt $p_2^{-1}(\Omega_2) = \Omega_1 \times \Omega_2$ und $p_2^{-1}(\emptyset)=\emptyset$. Beide Mengen sind aber in jeder $\sigma$-Algebra auf $\Omega_1 \times \Omega_2$ enthalten, sodass wir sie weglassen können. Für die Projektion $p_1 : \Omega_1 \times \Omega_2 \to \Omega_1$ gilt $p_1^{-1}(T) = T \times \Omega_2$ für jedes $T \in \mathcal{A}_1$. Die Mengen dieser Form $T \times \Omega_2$ bilden aber bereits eine $\sigma$-Algebra. Also muss dies $\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2$ sein. In dem Beispiel ist $\Omega_1=\{K,Z\}$, $\mathcal{A}_1=P(\Omega_1)$, $\Omega_2=\{a,b\}$.

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