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  Teilmenge als Implikation |
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lolito_11
Neu 
Dabei seit: 28.03.2017
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2017-03-28
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Hallo liebe Matheplanetmitglieder
Dies ist mein erster Post in diesem Forum deshalb verzeiht mir falls er nicht in Perfektion endet. Ich beginne gerade erst mich genauer mit der Mathematik auseinander zu setzen. Demnach wird folgendes den Meisten trivial erscheinen.
Dennoch habe ich eine Frage:
Ich versuche zu beschreiben wie ich folgenden Inhalt bislang verstehe.
In Metasprache lässt sich die Tatsache, dass $ x\subseteq y $ so formulieren, als das jedes Element (können auch wiederum Mengen sein) aus $x$ auch in $y$ liegt.
Mittels der Prädikatenlogik kann man die selbe Tatsache auch so darstellen
$\phi(x,y) := \forall z (z \in x \Rightarrow z \in y)$
wiederum in Metasprache:
" Für alle z gilt: Wenn $z$ aus der Menge $x$ ist, dann ist $z$ aus $y$ "
$x,y$ sind hierbei freie Variablen. Dies ist eine Gesamtaussage bestehend aus zwei Teilaussagen, welche mittels der Implikation verknüpft sind.
Ich habe es so verstanden, dass ich mir verschieden Mengen $x,y$ anschauen kann (sind ja frei) und falls die Gesamtaussage für diese beiden wahr ist, so ist $x$ eine Teilmenge von $y$.
Also betrachte ich im nächsten Schritt zwei fiktive konkrete Mengen $x$ und $y$.
Nacheinander gehe ich also alle Elemente von $x$ durch (hierdurch ist die Prämisse immer wahr) und stelle jedes mal fest, dass das entprechende Elemement auch in $y$ vorkommt. Tolle Sache bis hier. Die Prämisse und die Konklusion sind beide wahr, wodurch bis zu dieser Stelle $x$ eine Teilmenge von $y$ ist. Wäre die Mächtigkeit von $x$ genauso groß wie die bisherige Anzahl der Aussagenüberprüfung (würde ich jetzt abbrechen) íst $x$ eine Teilmenge.
Plötzlich gilt die Konklusion nicht mehr. Ich habe eine Element aus $x$ gefunde, welches nicht in $y$ vorkommt (w , f). Die Gesamtaussage wird falsch und es stellt sich herraus das $x$ keine Teilmenge von $y$ ist.
Bis zu dieser Stelle klingt es für mich noch pausibel und korrekt.
Verwirren tut mich nun die Tatsache, dass eine Implikation immer wahr ist, wenn die Prämisse falsch ist. Dies würde ja bedeuten, dass ich mir unabhängig von der Menge $x$ Elemente $z$ angucken kann und falls diese dann in der Menge $y$ liegen die Gesamtaussage wahr wird und $x$ jedes mal zur Teilmenge erklärt wird.
Ich glaube die eigentliche Frage ist das $z$ welches ich zu betrachten habe.
Ich hoffe ich konnte meine Frage verständlich erklären.
besten Dank soweit
lolit_11
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-28
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Definition: Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch in B liegt, d. h., für alle Objekte x gilt: Wenn x in A ist, dann ist auch x in B.
Bemerkung: Das hier fett markierte "wenn" ist in einer Definition eher als "genau dann, wenn" zu verstehen.
Betrachte beispielsweise A = {1, 2, 3} und B = {1, 2, 3, 4, 5}. Ist A eine Teilmenge von B? Ja na klar! Also gilt
Wenn x in A ist, dann ist auch x in B.
für alle Objekte x. Betrachte das Objekt x = 100. Dieses Objekt ist nicht in A, trotzdem soll die Implikation gelten, denn A ist ja nach unserer Vorstellung eine Teilmenge von B.
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lolito_11
Neu
Dabei seit: 28.03.2017
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-28
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Ich habe verstanden was du sagen wolltest und bin zu einem Schluss gekommen.
Es müssen alle erdenklichen $z$ auf die Implikation überprüft werden. Probleme bereiteten die beiden Fälle das sich $z$ nicht in $x$ befinden. Wenn das so ist ist das allerdings kein Ausschlusskriterium für die Aussage das $x$ eine Teilmenge von $y$ ist. Das $z$ darf sich komplett außerhalb oder innerhalb von $y$ befinden währenddessen es sich nicht in $x$ befindet. Das bringt die Aussage nicht zu fall. Die Aussage und damit die Teilmengerelation ist demnach nur falsch falls $z$ sich in $x$ befindet aber nicht in $y$ dann und nur dann kann $x$ keine Teilmenge von $y$ sein.
Danke für die Anregungen
beste Grüße
lolito_11
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-28
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\quoteon(2017-03-28 20:04 - lolito_11 in Beitrag No. 2)
Die Aussage und damit die Teilmengerelation ist demnach nur falsch falls $z$ sich in $x$ befindet aber nicht in $y$ dann und nur dann kann $x$ keine Teilmenge von $y$ sein.
\quoteoff
Du meinst das Richtige! Aber vielleicht sollte man es nochmal etwas klarer formulieren: Du kannst nicht immer an einem konkreten $z$ festmachen, ob $x\subseteq y$ gilt. Falls $z\in x$, aber $z\not\in y$, dann ist auf jeden Fall die Aussage $x\subseteq y$ *falsch*. Aber wenn $z\in x$ und $z\in y$, heißt das noch lange nicht, dass $x\subseteq y$. Betrachte beispielsweise
x = {1, 2, 3},
y = {2, 3, 8} und
z = 2.
Dann gilt $z\in x$ und $z\in y$. Aber trotzdem ist x keine Teilmenge von y, weil die $1\in x$, aber $1\not\in y$.
Die richtige Aussage, die du meinst, ist:
Für Mengen $x, y$ ist $x\subseteq y$ genau dann falsch, wenn *es ein $z$ gibt* mit $z\in x$ und $z\not\in y$.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, eingetragen 2017-03-28
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Noch ein Kommentar zur Bedeutung von "wenn": In der Alltagssprache haben Begriffe wie "wenn" keine eindeutige Bedeutung. Deswegen tuen sich viele schwer, zu akzeptieren, dass "Wenn A, dann B" auch dann wahr ist, wenn A falsch ist. In der Mathematik hat das Wort "wenn" aber eine präzise Bedeutung. Und zwar benutzt man die sogenannte "materielle" Implikation, deren Wahrheitswert durch die folgende Tabelle bestimmt ist:
http://asti.vistecprivat.de/hp/elektronik/wpu8/img/abb_02.gif
Du musst dir also nicht groß den Kopf darüber zerbrechen, und darüber zu philosophieren, warum "Wenn A, dann B" auch dann wahr ist, wenn A falsch ist. Es ist einfach so. Das kannst du einfach so hinnehmen. Irgendwann hast du dich dran gewöhnt und dann macht es für dich Sinn.
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lolito_11 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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