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 PDE: Energie-Gleichung und Spektrum |
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Natriumarm
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.07.2016
Mitteilungen: 53
 |  Themenstart: 2017-04-30
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Hallo, ich habe eine Frage zum Zusammenhang zwischen dem Spektrum bzgl. einer PDE und der Energie-Gleichung.
Für $a,c\in\mathbb{R}$ sei
$\displaystyle
u_t=u_{xx}+cu_x+au\text{ auf }(-L,L)
$
mit periodischen Randbedingungen $u(-L)=u(L), u_x(-L)=u_x(L)$.
(1) Bestimme das Spektrum und die Energie-Gleichung bzgl. der $L^2$-Norm.
(2) In welcher Beziehung steht die Energiedynamik zum Spektrum?
----
Aufgabe (1) habe ich wohl hinbekommen:
Das Spektrum ist gegeben durch
$\displaystyle
\Lambda = -\frac{\pi^2\ell^2}{L^2}+i\frac{\pi\ell}{L}c+a,\ell\in\mathbb{Z}.
$
Die Energie-Gleichung ist gegeben durch
$\displaystyle
\frac{d}{dt}\lVert u\rVert_2^2=-2\lVert u_x\rVert_2^2+2a\lVert u\rVert_2^2\leq 2a\lVert u\rVert_2^2
$
und mit Gronwall's Ungleichung folgt
$\displaystyle
\lVert u\rVert_2^2\leq e^{2at}\lVert u(0)\rVert_2^2.
$
(2) Bin etwas ratlos, was man da jetzt für einen Zusammenhang zwischen dieser Energie-Gleichung bzw. Energie-Abschätzung und dem Spektrum erkennen kann.
Ich sehe nur, dass $a$ der größte Realteil bzgl. des Spektrums ist, also die lineare Stabilität bestimmt und dass $a$ auch in der Normabschätzung vorkommt.
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haerter
Senior 
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1744
Wohnort: Bochum
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-30
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Hallo,
man könnte ganz grob den folgenden Zusammenhang herstellen:
Der größte Realteil eines Eigenwerts ist a, also gibt es eine wie $e^{at}$ anwachsende Lösung, die anderen Moden wachsen langsamer oder klingen sogar ab.
Das entspricht dann Deiner Abschätzung.
Viele Grüße,
haerter
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Natriumarm
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.07.2016
Mitteilungen: 53
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-02
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Hallo, haerter,
vielen Dank für deine Antwort!
Das heißt für $a>0$ haben wir Wachstum bzw. die Lösung ist unbeschränkt in der Norm, also Instabilität und für $a<0$ fällt die Lösung in der Norm gegen 0 und wir haben Stabilität?
Das würde zumindest damit zusammen passen, dass positive Realteile der Eigenwerte für Instabilität und negative Realteile der Eigenwerte für Stabilität stehen.
Kann man das irgendwie auch so formulieren, dass wir spektrale (lineare) Stabilität genau dann haben, wenn die Lösung in der Norm beschränkt ist, in diesem Fall also für $a>0$?
(Und dementsprechend spektrale (lineare) Instabilität genau dann, wenn die Lösung in der Norm unbeschränkt ist, hier für $a>0$?)
Viele Grüße
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haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1744
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-03
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Hallo,
ja, so ähnlich hatte ich das gemeint, wobei lineare Stabilität der Nulllösung dann für $a<0$ (nicht $a>0$) gelten sollte.
Das sieht man natürlich auch ohne lange Rechnung schon daran, dass räumlich konstante Funktionen Lösungen sind mit $u_t=au$, da dann $u_x=u_{xx}=0$ ist und bleibt.
Viele Grüße,
haerter
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