Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von nzimme10
Funktionentheorie » Holomorphie » Nichtexistenz von holomorpher Funktion
Autor
Universität/Hochschule J Nichtexistenz von holomorpher Funktion
Neodym342
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 145
  Themenstart: 2017-05-04

Hallo, leider ist mir kein besserer Betreff eingefallen. Folgende Aufgabe: Show that there is no holomorphic function $f:\mathbb{C} \backslash \{0\}$ with $f'(z)=1/z$ for all $z\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$. Hint: consider the function $\text{exp} \circ f$. Also offensichtlich soll ich ja die Verkettung $\text{exp} \circ f$ betrachten. Angenommen $f$ ist holomorph, dann ist $\text{exp} \circ f$ ebenfalls holomorph und damit komplex differenzierbar. Ist das der Anfang vom Weg? Leider weiß ich nicht so recht wie es weitergehen soll. Freue mich über Hinweise. Neodym342


   Profil
dromedar
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-04

(Dieser Vorschlag war Unsinn, vgl. die Beiträge No. 5 und No. 6.)


   Profil
Neodym342
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 145
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-04

Hallo, Danke. Jedoch haben wir noch keine Integralrechnung eingeführt, deswegen denke ich, dass wir das "nur" mit Differentialrechnung beweisen sollen. Gibt es denn einen Weg ohne Integrale? Grüße


   Profil
dromedar
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
  Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-04

(Und auch dieser Vorschlag war Unsinn, vgl. die Beiträge No. 5 und No. 6.)


   Profil
Gestath
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 242
  Beitrag No.4, eingetragen 2017-05-04

Hallo Neodym342, ich würde die Verkettung als erstes zwei mal ableiten. MfG Gestath


   Profil
digerdiga
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1389
  Beitrag No.5, eingetragen 2017-05-05

Warum schaut ihr euch die Bedingung f(0) an? f sowie f' ist doch explizit nur in C\0 definiert?


   Profil
dromedar
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
  Beitrag No.6, eingetragen 2017-05-05

\quoteon(2017-05-05 00:36 - digerdiga in Beitrag No. 5) Warum schaut ihr euch die Bedingung f(0) an? \quoteoff Weil ich die Aufgabe falsch gelesen hatte.


   Profil
digerdiga
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1389
  Beitrag No.7, eingetragen 2017-05-05

Ich wüsste gerade nicht wie man das nur mit komplexer Differentiation zeigt, aber würde es (wenn es denn geht) auch gerne sehen. Über die Integration hätte ich folgendes: \ Sei h(t)=f(exp(\ii t)). Angenommen f ist in ganz \IC \\ 0 holomorph mit diff(f(z),z)=1/z, dann ist h(t) differenzierbar für alle t \el [0,2\pi] und es folgt int(diff(h(t),t) , t, 0,2\pi) = h(2\pi)-h(0) = 0 wegen der Periodizität der e-Funktion. Andererseits liefert die explizite Auswertung aber auf einem holomorphen Teilgebiet int(diff(h(t),t) , t, \epsilon,2\pi-\epsilon) = int(1/(exp(\ii t)) * \ii exp(\ii t) , t, \epsilon , 2\pi -\epsilon) = 2\ii (\pi-\epsilon) != 0 und damit h(t) nicht differenzierbar auf ganz [0,2\pi] und entsprechend f(z) nicht holomorph auf ganz \IC \\ 0. Vermutlich müsste man nicht nur einen "Schnitt" für die Funktion (hier bei 1 bzw. t=0 und 2\pi) betrachten sondern eine stückweise Unterteilung (a_i , a_(i+1)) mit i=0..n und a_0=0, a_(n+1) = 2\pi und anschließender Aufsummation. Das ändert aber nichts am Ergebnis.


   Profil
Neodym342
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 145
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-05

Vielen Dank. Ich habe jedoch noch eine Frage, wahrscheinlich offensichtlich, aber ich sehe es gerade nicht. Warum müsste http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44146_Unbenannt.PNG =0 sein? Zu dem Vorschlag von Gestath: $(e^{f(z)})''=f''(z)e^{f(z)}+(f'(z))^2e^{f(z)}=-1/z^2e^{f(z)}+1/z^2e^{f(z)}=0$ Also ist die zweite Ableitung gleich 0. Kann man daraus jetzt irgendwie schlussfolgern, dass f nicht holomorph ist? Grüße


   Profil
digerdiga
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1389
  Beitrag No.9, eingetragen 2017-05-05

\quoteon(2017-05-05 15:57 - Neodym342 in Beitrag No. 8) Vielen Dank. Ich habe jedoch noch eine Frage, wahrscheinlich offensichtlich, aber ich sehe es gerade nicht. Warum müsste http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44146_Unbenannt.PNG =0 sein? Zu dem Vorschlag von Gestath: $(e^{f(z)})''=f''(z)e^{f(z)}+(f'(z))^2e^{f(z)}=-1/z^2e^{f(z)}+1/z^2e^{f(z)}=0$ Also ist die zweite Ableitung gleich 0. Kann man daraus jetzt irgendwie schlussfolgern, dass f nicht holomorph ist? Grüße \quoteoff Die rechte Seite ist offensichtlich nicht Null, aber die linke Seite müsste im Limes epsilon->0 gegen 0 gehen, wenn h(t) differenzierbar an 0 und 2 pi, denn dann ist h natürlich stetig an diesen Stellen. Sprich h(t) müsste bei 2pi wieder in h(0) übergehen. Zu der doppelten Ableitung kannst du folgern, dass exp(f(z))=c1*z ist (c2 verschwindet wie du durch Vergleich der ersten Ableitung folgern kannst). c1=exp(-c0) kannst du in f absorbieren, da die Konstante beim Ableiten eh verschwindet. D.h. du hast als Ergebnis, dass exp(f(z))=z, also ist f die Umkehrfunktion zur e-Funktion. Ist f(z)=fx(z)+i*fy(z) nun eine Lösung zu exp(f(z))=exp(fx(z))*(cos(fy(z))+i*sin(fy(z)))=z, so ist fy unbestimmt modulo 2pi. Ist nun z=1+i*epsilon, so wird die Gleichung durch fx=0 und fy=epsilon erfüllt. fy(z) ist gerade die Argumentfunktion arg(z)=phi. Läufst du in der komplexen Ebene weiter bis 1-i*epsilon im Kreis, so erhöht sich phi und damit fy(z) stetig! bis 2*pi. fy ist also eine monoton steigende Funktion. Beim Überschreiten der positiven x-Achse landest du wieder bei 1+i*epsilon, d.h. arg(z)=epsilon. Um Eindeutigkeit zu erreichen muss also auch fy(z) auf epsilon springen, wodurch die Differenzierbarkeit von fy und damit f in arg(z)=0 zerstört wird. In anderen Worten hätte man so auch die Möglichkeit f(z) auch in ganz C holomorph zu machen, wenn man dadurch die Nicht-Eindeutigkeit in Kauf nehmen würde...


   Profil
Gestath
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 242
  Beitrag No.10, eingetragen 2017-05-06

Hi, es ist bequemer eine etwas andere Hilfsfunktion zu betrachten: Definiere die ganze Funktion g: g:\IC->\IC (1) g(z)=f(exp(z)) Es gilt: g'(z)=1 und es folgt (2) g(z)=z+C für eine Konstante C\el\ \IC. Damit gilt einerseits wegen (1): g(0)=g(2*\pi*i)=f(1) aber andererseits gilt wegen (2)auch: g(0)=C <> g(2*\pi*i)=C+2*\pi*i Widerspruch! MfG Gestath


   Profil
Neodym342
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 145
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-07

Danke euch! Konnte nun alles nachvollziehen.


   Profil
Neodym342 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neodym342 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]