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Universität/Hochschule Beweis zu Modulen, Basen und direkter Summe
BulettenJoergi
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Dabei seit: 27.11.2016
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  Themenstart: 2017-05-13

Es sei M ein Modul über R, und $X= {x_1,...,x_n} \subseteqM.$ Welche der beiden folgenden Aussagen impliziert die andere? (a) X ist eine Basis von M (b) $M=\sum\limits_{i=1}^{n}Rx_i$ und diese Summe ist direkt. Ich denke dass $(a) \Rightarrow (b) $ gilt, aber wie beweise ich dies?


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Triceratops
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Wohnort: Berlin
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-13

Bei (b) sollte wohl $M = \sum_{i=1}^{n} R x_i$ stehen. Dann gilt (a) -> (b), das ist leicht zu zeigen (was hast du probiert?). Aber die Umkehrung gilt nicht, denn aus (b) lässt sich nicht folgern, dass $r x_i = 0 \Rightarrow r=0$ gilt. Das ist aber der einzige Unterschied zwischen (a) und (b).


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yann
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Mitteilungen: 547
  Beitrag No.2, eingetragen 2017-05-13

Die Aussagen sind äquivalent, bei b) meinst du sicher $M=\sum Rx_i$. Da X eine Basis ist, lässt sich jedes Element eindeutig (!!) als R-Linearkombination der x_i schreiben. Dass sich jedes Element so schreiben lässt, impliziert $M=\sum Rx_i$. Die Eindeutigkeit liefert die Direktheit der Summe (Wenn du es nach eurer Definition auswertest, sollte das direkt herauskommen). [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] Edit: Sie sind nicht äquivalent, da vertraue ich Triceratops :-)


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BulettenJoergi
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-13

Wieso lässt sich jedes Element von M als R-Linearkombination der $x_i$ schreiben, wenn X eine Basis von M ist. Also als $m \in M $ gilt $m = a_1r_1+a_2r_+...+a_nr_n=\sum\limits_{i=1}^{r_i}a_ir_i$ mit $r_1,r_2,...,r_n \in R $. Was heißt , dass jedes Element eindeutig als Linearkombination schreiben lässt?


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