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  Funktionentheorie - Auffinden von holomorphen Funktionen zu bestimmten Kriterien |
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ModuloGamma1
Junior 
Dabei seit: 14.05.2017
Mitteilungen: 5
Wohnort: Deutschland
 |  Themenstart: 2017-05-14
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Hallo liebe Gemeinde :-)
Ich sitze an der folgenden Aufgabe :
Sei $ \mathrm{C} / (-\infty, 0] = \mathrm{C^{-}}und $ n \in \mathrm{N} $. Geben Sie alle holomorphen Funktionen $ f: \mathrm{C^{-}} \rightarrow \mathrm{C} $ an, sodass $ z = f(z)^n $ für $ \forall z \in \mathrm{C^{-}} $
Mein Ansatz:
Ich habe mir gedacht, dass wenn $ f(z)^n = z $ , muss ja $ f(z) = z^{1/n} $ sein und da z eine komplexe Zahle ist der Art $ z = x + iy = |z| e ^{i \phi}$ , muss ja gelten für f:
$ |z|^{1/n} e^ {i \phi / n } = f(z) $
Und das ist ja für alle $ z \in \mathrm{C^{-}} $ erfüllt. Das scheint mir aber nicht der komplette Zauber gewesen zu sein.,... 8-)
Ich habe mich schon ein bisschen im Forum hier umgeschaut und gelesen, dass man dies auch mit dem Identitätssatz lösen könnte bpsw., also dass wenn man einen Bereich U hat und zwei Funktionen und diese in einem Teilbereich davon gleich sind, dieser darf nicht diskret sein , sind sie es in dem ganzen Bereich. Aber was sollte ich hier für einen Teilbereich von $ \mathrm{C^{-}} $ wählen ?
Sonst könnte ich noch über Potenzreihen argumentieren, wenn ich f als eine darstelle und diese muss dann gleich $ z^{1/n} $ sein.
Ich hoffe, ihr könnt mir weiter helfen :-)
Maik
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Zetavonzwei
Senior 
Dabei seit: 07.03.2012
Mitteilungen: 634
Wohnort: Bamberg, Deutschland
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-15
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Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten,
Für die Anwendung des Identitätssatzes reichen ja prinzipiell die Werte auf der reellen Achse (zum Beispiel in einer Umgebung von 1) aus.
Allerdings hast du wohl noch ein paar Möglichkeiten übersehen: Zu einer gegebenen dritten Wurzel $f(z)$ ist zum Beispiel auch $g(z):=f(z)\cdot e^{\frac{2\pi i}{3}}$ eine dritte Wurzel.
Beides zusammen bedeutet: Wenn du die Werte in einer Umgebung von 1 kennst, kennst du auch die Funktion im ganzen Gebiet, in dem sie existiert. Jetzt musst du nur noch herausfinden, welche Möglichkeiten es für die Werte dort gibt.
Viele Grüße
Zvz
[Verschoben aus Forum 'Matheplanet' in Forum 'Holomorphie' von Zetavonzwei]
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ModuloGamma1
Junior
Dabei seit: 14.05.2017
Mitteilungen: 5
Wohnort: Deutschland
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-15
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Hallo Zetavonzwei
und danke für die schnelle Antwort!
Ich hatte auch schon an eine Umgebung von 1 gedacht, zB das Intervall $ [0,1] $ .
Ach stimmt, genau, man kann die gesuchte Funktion um den geschriebenen Faktor zu $ g(z) $ erweitern, wegen der Periodizität.
Ich habe schon eine Weile überlegt, aber irgendwie komme ich nicht weiter.. Wie kann ich mir den Werte überlegen, die die Funktion annimmt, wenn ich die Funktion an sich nicht kenne? Oder war meine Darstellung :
$ |z|^{1/n} e^ {i \phi / n } = f(z) $
Ein richtiger Ansatz ?
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ModuloGamma1
Junior
Dabei seit: 14.05.2017
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|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-16
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Ist noch wer da, der mir antworten könnte?
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Gestath
Wenig Aktiv
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 242
 | Beitrag No.4, eingetragen 2017-05-16
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Hallo ModuloGamma1,
du sollst ja alle holomorphen Funktionen mit der Bedingung angeben:
Wenn f und g zwei solche Funktionen sind, betrachte f/g.
Dann hast du ja bereits eine Funktion angegeben: hier ist noch zu zeigen, dass diese holomorph ist auf C^-.
MfG
Gestath
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ModuloGamma1
Junior
Dabei seit: 14.05.2017
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Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-16
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Hallo Gestath,
Reicht es denn, dass ich diese eine Funktion angegeben habe oder wie komme ich auf alle Funktionen, die diese Bedingungen erfüllen?
Wenn gilt $ f(z) = |z|^{1/n} e^ {i \phi / n } $ , ist ja :
$ |z|^{1/n} e^ {i \phi / n } = f(z)
= (|z| e^{i \phi} ) ^{1/n}
= (x + i*y ) ^{1/n}
\le x^{^1/n} + (i*y)^{1/n}
$
Dann könnte ich ja die Cauchy-Riemann-DGLs verwenden, oder?
Oder wie könnte es weitergehen? :-o
Mit freundlichen Grüßen
ModuloGamma1
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2017-05-16
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Das Probelm was dieser Aufgabe ist gerade, dass auf C die n-te Wurzel nicht so einfach hingeschrieben werden kann. Daher ergibt $(x + i*y ) ^{1/n}$ erst einmal keinen Sinn.
$ f(z) = |z|^{1/n} e^ {i \phi / n } $ ist eine Lösung. Die Holomorphie läßt sich - glaube ich - nicht so einfach zeigen. Um alle Lösungen zu bestimmen schau Dir die Gleichung $z^n = 1$ an. Insbesondere: Wie viele Lösungen hat sie.
Falls ihr in der Vorlesung schon den holomorphen Logarithmus behandelt habt, läßt sich dieser hier wunderbar verwenden.
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ModuloGamma1
Junior
Dabei seit: 14.05.2017
Mitteilungen: 5
Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-16
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Hi TomTom314,
Genau das habe ich auch gedacht, bei der Schreibweise komme ich nicht weiter.
Die Gleichung $ z^n = 1 $ hat genau n Lösungen, ja die Einheitswurzeln, sie liegen also alle auf dem Rand des Einheitskreises in der Gaußschen Zahlenebene. Die Lösung ist
$ z = e^{i \frac{2 \pi k }{n}} $ mit $ n \in \mathrm{N} $ und $ k \in \mathrm{Z} $ .
und wie verfahre ich jetzt damit weiter? für meine angegebene Funktion $ f(z) $ habe ich dies ja schon mit einer Abhängigkeit vom Paramter $ n $ angegeben und $ \phi $ ist ja in diesem Fall periodisch mit der Exponentialfunktion.
Bezüglich der Logarithmusfunktion: Ja, diese hatten wir schon in der Vorlesung:
$ Ln z = ln |z| + i argz $
Wie kann man mir das weiterhelfen?
Vielleicht habe ich den tieferen Sinn der komplexen Logarithmusfunktion in der Funktionentheorie noch nicht verstanden :-o
Viele Grüße.
ModuloGamma1 :-)
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2017-05-16
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Bisher konnte ich bei Deinen Beträgen nicht erkennen, dass Du für ein festes n auch n verschiede Lösungen für f gefunden hast. Die n-ten Einheitswurzeln helfen dabei, aus einer Lösung die anderen zu erzeugen.
Zum Logarithmus. Ich bin gerade dabei Deinen ursprünglichen Ansatz über Bord zu werfen. Der Hauptzweig ist halt schon eine auf $\mathbb{C}^{-}$ holomorphe Funktion. Aus der Gleichung $z = \exp(\ln z)$ und Rechenregeln für exp,ln läßt sich auch eine n-te Wurzel herleiten, die quasi automatisch holomorph ist.
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Gestath
Wenig Aktiv
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 242
| Beitrag No.9, eingetragen 2017-05-17
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\quoteon(2017-05-16 19:21 - ModuloGamma1 in Beitrag No. 5)
Hallo Gestath,
Reicht es denn, dass ich diese eine Funktion angegeben habe oder wie komme ich auf alle Funktionen, die diese Bedingungen erfüllen?
Wenn gilt $ f(z) = |z|^{1/n} e^ {i \phi / n } $ , ist ja :
$ |z|^{1/n} e^ {i \phi / n } = f(z)
= (|z| e^{i \phi} ) ^{1/n}
= (x + i*y ) ^{1/n}
\le x^{^1/n} + (i*y)^{1/n}
$
Dann könnte ich ja die Cauchy-Riemann-DGLs verwenden, oder?
Oder wie könnte es weitergehen? :-o
Mit freundlichen Grüßen
ModuloGamma1
\quoteoff
Die Verwendung des "<=" macht keinen Sinn, du bist in den komplexen Zahlen.
Der 1. Schritt sollte wohl sein, dass dü beweist, dass deine Funktion f holomorph ist: und zwar indem du du f als Verknüpfung von schon bekannten holomorphen Funktionen hinschreibst. Da kann der komplexe Logarithmus hilfreich sein.
In einem zweiten Schritt beweist du: ist g eine zweite Funktion, die die geforderten Bedingungen erfüllt, so ist f/g konstant (welche Konstanten kommen in Frage?). Wenn das getan ist, kannst du alle Funktionen direkt angeben.
Edit: bei deiner Funktion f solltest du genau über den Definitionsbereich des Winkels phi nachdenken.
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ModuloGamma1 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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