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  DGL höherer Ordnung |
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jonasvc19
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 |  Themenstart: 2017-05-17
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Hallo zusammen,
Ich habe die Aufgabe:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44911_dgl10.png
Vorgegangen bin ich nach meinem Skript (Seite 14/15) hier
\
Jetzt habe ich mal bei der a) angefangen.
Das characteristische Polynom lautet:
\lambda^10-2\lambda^6+\lambda^2=0
Daraus folgt:
\lambda_1 = 0 mit alg. Vielfachheit 2
\lambda_2 = -1 mit alg. Vielfachheit 4
\lambda_3 = 1 mit alg. Vielfachheit 4
Ich erhalte die homogene Lösung:
y_hom(x)=c_1+tc_2+c_3 e^(-t)+tc_4 e^(-t)+tc_5 e^(-t)+tc_6 e^(-t)+c_7 e^t+tc_t e^t+tc_9 e^t+tc_10 e^t
Nach Skript soll ich für die spez. Lsg. ce^x einsetzen.
Dann komme ich aber auf:
ce^x-2ce^x+ce^x=e^x
und das stimmt nicht...
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lula
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-17
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Hallo
deine homogene Lösung ist noch nicht falsch, aber du kannst ja c4+c5+c6=C zusammenfassen, entsprechend c9 und c10. d. h. es fehlen dir noch Lösungen. Der Ansatz für die partikuläre Lösung ist so nicht richtig, er gilt nur wenn e^x NICHT Lösung der homogenen Dgl ist, wenn auch x*e^x Lösung ist, dann ist der Ansatz c*x^2*e^x wenn auch x^2*e^x Lösung wäre, dannC*x^3*e^x
bis dann, lula
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jonasvc19
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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also kann man die homogene Lsg: zu
\
y_hom(x)=c_1+tc_2+c_3 e^(-t)+3tc_4 e^(-t)+c_5 e^t+3tc_6 e^t
zusammenfassen?
Ich verstehe noch nicht so ganz wie du das mit der partikulären Lsg. meinst.
Das ich meinen Ansatz nur benutzen kann, wenn e^x keine Lsg. ist, hatte ich falsch verstanden. Aber dann kann das ja auch nicht funktionieren. Nur wie dann?
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jonasvc19
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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Habe es jetzt mal mit cte^t versucht und das geht auch nicht. Jetzt könnte ich natürlich ct^2e^t versuchen, aber da kann es ja nicht sein, dass ich für einen Punkt, den die Aufgabe gibt, alle 10 Abeitungen bestimmen muss.
Vor allem kann es doch nicht sein, dass man die ganze Zeit rät und einsetzt. Es muss da da einen Lösungsweg geben, den man anwenden kann^^
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gonz
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2017-05-17
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Doch das was Lula dir schon mitgeteilt hat ist doch der Lösungsweg. man nimmt die inhomogenität her für die spez. Lösung, und wenn diese in den schon bestimmten hom. Lösungen vorkommt, dann setzt man t oder t^2 usw davor, bis man etwas gefunden hat, was nicht in den hom. Lösungen vorkommt. Für die Berechnung der 10. Ableitung kannst du dir ja eine rekursive formel überlegen, wenn du das schema erkannt hast, nach dem sie gebildet werden.
dies bezüglich ist zu erwarten, dass b) und c) einfacher gehen, vielleicht machts du auch erstmal eine davon, um dich einzustimmen :)
Grüsse
gonz
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jonasvc19
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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ok. dann werd ich das jetzt mal machen.
aber das heißt im klartext: Ich darf raten bis das richtige rauskommt ?
Sehr interessant ;)
PS: Stimmt denn meine allgemeine Lösung?
Bzw. die erste oder 2. Variante?
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gonz
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| Beitrag No.6, eingetragen 2017-05-17
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Die Leben ist hart :)
Hast du zur homogenen Lösung das angesehen, was Lula in Beitrag 1 geschrieben hat?
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jonasvc19
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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stimmt wohl ;)
Ja, das hatte ich gesehen und dann in Beitrag No. 2 das geschrieben, wo ich denke das es so sein sollte. stimmt das denn jetzt?
Weil theoretisch müsste doch auch meine erste Schreibweise stimmen
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gonz
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| Beitrag No.8, eingetragen 2017-05-17
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Es gibt noch komplexe Lösungen der char. Gleichung, diese führen auf weitere Anteile für die hom. Lösung. Hilft dir das weiter?
\
Du hast ja \lambda=0 als doppelte Nullstelle, und dann eine Gleichung, die für \lambda^4 eine quadratische Gleichung der Form
(\lambda^4-1)^2 = 0
Setz' doch an der Stelle nochmal an und behalte das mit den Komplexen Lösungen im Kopf :)
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jonasvc19
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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ok, wenn ich nicht ganz falsch liege, hätte ich dann
0,1,-1,i,-i und alle jeweils mit algebraischer vielfachheit 2.
korrekt?
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gonz
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| Beitrag No.10, eingetragen 2017-05-17
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jonasvc19
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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dann muss ich jetzt nur noch ein "Muster" bei der Ableitung von ct^2e^t finden. bisher sehe ich da nämlich keines
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gonz
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| Beitrag No.12, eingetragen 2017-05-17
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Schreib mal die ersten 2-3 Ableitungen untereinander, dann fällt es dir bestimmt auf. Das C kannst ja weglassen um die was Schreibarbeit zu sparen.
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jonasvc19
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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also ich habe jetzt:
\
y_hom(t)=c_1+tc_2+c_3 e^t+tc_4 e^t+c_5 e^(-t)+tc_6 e^(-t)+c_7 e^(it)+tc_8 e^(it)+c_9 e^(-it)+tc_10 e^(-it)
y_part(t)=ct^2 e^t
y(t)=ct^2 e^t+c_1+tc_2+c_3 e^t+tc_4 e^t+c_5 e^(-t)+tc_6 e^(-t)+c_7 e^(it)+tc_8 e^(it)+c_9 e^(-it)+tc_10 e^(-it)
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gonz
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| Beitrag No.14, eingetragen 2017-05-17
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nein so einfach ist das nicht, du must dir auf der basis von dem ansatz der spez. Lösung schon eine basteln, die genau zu der DGL passt, also ableitungen bestimmen und einsetzen... ich geb zu dass das ne ganze menge zu tun ist...
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jonasvc19
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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was meinst du?
Ich habe doch die spezielle und die homogene Lösung bestimmt
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gonz
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| Beitrag No.16, eingetragen 2017-05-17
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Ist denn t^2 e^t wirklich genau eine Lösung der DGL?
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jonasvc19
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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also wenn ich ct^2e^t ableite und in die DGL einsetze, kommt genau e^t raus.
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gonz
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| Beitrag No.18, eingetragen 2017-05-17
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ok, ich bin zu faul grad um es nachzurechnen... wenn das so ist bist wirklich fertig. das C vor der spez. Lösung brauchst nicht, weil du nur eine brauchst und nicht ne lösungsschar. kannst also dann einfach C=1 setzen.
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jonasvc19
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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ok, vielen Dank
Der 2. und 3. Fall sind viel einfacher zu lösen :)
D.h. wenn ich jetzt in meiner Lösung noch das c=1 setze in der spez. Lösung, stimmt alles?
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gonz
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| Beitrag No.20, eingetragen 2017-05-17
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Wie gesagt ich habe es nicht nachgerechnet. Das könnte ich natürlich mal machen ...
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jonasvc19
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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also meine eigenwerte und die spez. Lsg. stimmen auf jeden Fall.(mit Wolfram alpha geprüft ;) )
Wäre nur super wenn du mal schaust, ob die schreibweise zusammen mit der allgemeinen Lösung stimmt.
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gonz
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| Beitrag No.22, eingetragen 2017-05-17
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evtl. müsstest aus den anteilen mit dem imaginären Exponenten noch was realwertiges zusammenbauen, sowas mit sin und cos. denn die gesuchte Funktion ist doch von IR in IR oder?
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jonasvc19
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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die aufgabe steht ja oben. da steht nicht ob nun komplex oder nicht
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gonz
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| Beitrag No.24, eingetragen 2017-05-17
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\
Wenn ich richtig liege ist für
y_p(x) = x^2 exp(x)
die n. Ableitung gegeben zu
y_p^(n)(x) = (n(n-1) + 2n x + x^2) exp(x)
und damit
y_p^'' (x) = (2 + 4x + x^2)exp(x)
y_p^(6) (x) = (30 + 12x + x^2)exp(x)
y_p^(10) (x) = (90 + 20x + x^2)exp(x)
eingesetzt in deine DGL
y^(10) (x) - 2y^(6) (x) + y''(x) = exp(x)
ergibt das
(90 + 20x + x^2)exp(x) - 2(30+12x+x^2)exp(x) + (2 + 4x + x^2) exp(x) = exp(x)
32 exp(x) = exp(x)
Was nicht wirklich für alle x erfüllt ist... bist du sicher dass du deine spezielle lösung mit wolfram geprüft hast ? du musst doch eher das C mitschleppen und am ende nutzen um das ganze zu skalieren...
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jonasvc19
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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ok. ich hab einen rechenfehler drin, den habe ich jetzt gefunden.
32*c*e^x=e^x
für c=1/32 ist es also die Lösung
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gonz
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| Beitrag No.26, eingetragen 2017-05-17
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jonasvc19
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
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ok, vielen Dank für die Hilfe :)
Jetzt nur noch 3 Matheaufgaben bis Montag^^
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DarkK
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| Beitrag No.28, eingetragen 2017-05-19
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Kurze Frage. Wie kann ich das ganze mit Wolfram kontrollieren? Bin fertig, und wollte meine speziellen Lösungen nochmal prüfen.
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jonasvc19
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19
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das geht nicht so einfach, weil man dafür die ganze DGL eingeben müsste. Zumindest bei mir erkennt W.A aber nur Ableitungen bis zur 9. ordnung
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jonasvc19
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| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19
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ok. man kann es schon angeben aber er berechnet es nicht:
hier
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DarkK
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| Beitrag No.31, eingetragen 2017-05-19
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Meine partikulären Lösungen..
(a) y_p=1/32*x^2*e^x
(b) y_p=(x)/(2)*x^2
(c) y_p=x^2/6*x^3
(d) da kommt irgendwie wenn ich die 2,6,10 Ableitung von r*sin(x)+s*cos(x) bilde und ich das in die DGL einsetze am Ende 0=sin(x) raus xD
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jonasvc19
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| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19
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also die c) und d) mache ich morgen erst, aber deine b) stimmt nicht. wenn du das einsetzt siehst du das. Da kommt als Lösung (x^3)/6 raus
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DarkK
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| Beitrag No.33, eingetragen 2017-05-19
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Alles klar. Ich guck dann noch mal drüber ^^
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jonasvc19
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-19
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ok, also wäre super, wenn jemand mal bei der d) helfen könnte.
\
Wenn ich den Ansatz x*(asin(x)+bcos(x)) nehme, kommt 0=sin(x) bei der DGL raus. geht also nicht.
Wenn ich x^2*(asin(x)+bcos(x)) nehme, bekomme ich das Gleichungssystem
-3ax^2+122a-36bx=1 und (36ax-3bx^2+122b)=0
Das lässt sich nicht auflösen.
Bei x^3 werden aber die Ableitungen so lang, dass ich nicht glaube, dass ich das machen muss.
Also wo ist der Fehler?
:-?
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loop_
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 | Beitrag No.35, eingetragen 2017-05-20
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Scheint ein Rechenfehler vorzuliegen. Mit dem Ansatz $y_p(x) = x^2 (a_1 cos(x) + a_2sin(x))$ sollte $a_1 = 0$ und $a_2 = \frac{1}{32}$ herauskommen.
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jonasvc19
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-20
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ok, danke. dann weiß ich zumindest wo ich suchen muss :)
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gonz
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| Beitrag No.37, eingetragen 2017-05-20
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Ich würde immer noch gerne aus der Lösung in Beitrag #13 für den Teil (a) etwas gebastelt sehen, das keine imaginären exponenten beinhaltet, also der anteil exp(it) umgeschrieben in sin- und cos-Funktionen... Dann wäre es aus meiner Sicht "perfekt" :)
Zu Beitrag 34:
Wenn du gemischte Terme der Form zB x^2 sin(x) ableitest, dann sollte immer eine Summe aus Termen herauskommen, die aus dem Produkt eines polynoms in x bestehen und einer der Funktionen sin(x) oder cos(x). Deshalb ist es auch einfach zu erkennen, dass du dich dort irgendwo vertan hast, und das sollte es auch erlauben, die stelle in deiner rechnung zu finden, an der erstmal summanden auftauchen, die eben keine trig. funktion mehr beinhalten => da ist dann der fehlerteufel zu suchen...
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jonasvc19
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| Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-20
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ok, also das mit dem umschreiben habe ich schon erledigt. Ich habe in meiner schriftlichen Lösung die Formel mit den imag. exponenten angegeben und dazu noch die Alternative Form mit e^it=cos(t)+isin(t) usw. aufgeschrieben. aber es wird ja eigentlich nicht verlangt das so zu machen ;)
zum anderen:
natrülich kommen sin und cos noch vor. wenn ich aber die Ableitungen in die DGL zusammenfasse, kommt da raus sin*[...+...+...+...]+cos[..+...+...+...]
Da ja der Term hinter dem sin =1 werden muss und der hinter dem cos =0, habe ich nur diese Terme angegeben. Deshalb kommt kein sin und cos vor.
Wenn da mal drüberschauen willst, kann ich auch gerne mal die ganze Rechnung hier reinstellen :)
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gonz
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| Beitrag No.39, eingetragen 2017-05-20
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Na das klingt doch gut :) Alles fein.
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