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  Holomorphie einer komplexen Funktion |
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yafoo
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 |  Themenstart: 2017-05-23
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Guten morgen zusammen,
folgende Aufgabe beschäftigt mich erneute länger als gedacht:
Zeigen Sie, dass $f(z)=\frac{z+1}{z-1}$ die Menge $G:=\mathbb{C}\setminus\{1\}$ holomorph und bijektiv auf sich abbildet, sowie die Einheitskreisscheibe $D_1(0)$ auf $\{z\in\mathbb{C}\, :\, \mathrm{Re}(z) < 0\}$
Schon die Fragestellungen bereit mir irgendwie Schwierigkeiten. Bisher wurde immer nur davon gesprochen, dass "Funktionen holomorph" sind. Aber letztendlich müsste das ja äquivalent zu "holomorph" abbilden sein.
Also muss ich nun die Holomorphie von $f(z)$ auf der obigen Menge $G$ zeigen. Ich würde das prinzipiell mit den Cauchy-Riemann DGL machen und zuvor die Stetigkeit der partiellen Ableitungen prüfen. Dazu muss ich doch erst einmal die Funktion mit $z=x+y\mathrm{i}$ umschreiben, oder? Hier scheitert es aber dann schon:
$\displaystyle \frac{x+y\mathrm{i}+1}{x+y\mathrm{i}-1}$
Ich würde eine 1-Erweiterung machen, aber das hat mich dann nur zu einem "Termchaos" geführt.
Habt ihr da eine Hilfe für mich? Vielen Dank!
Grüße,
yafoo
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Ex_Senior
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-23
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Hallo yafoo,
"Holomorph abbilden" ist nur eine verkürzter Ausdruck für "f holomorph und $f (G)\subset G$", in dieser Aufgabe.
Zur Holomorphie. Wenn Du mit $(x-1)-iy$ erweiterst und etwas konservativ beim ausmultiplizieren von x+-1 bist, bekommst Du ganz vernünftige Ausdrücke. Cauchy-Riemann reduziert sich dann auf Ausdrücke der Gestalt g'h-gh'.
Die Stetigkeit bekommst Du im übrigen aus der reellen Analysis geschenkt.
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yafoo
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-23
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Hey,
vielen Dank für Deine Tipps.
Ich habe nun versucht, das "konservativ" umzuformen:
$\displaystyle \frac{((x+1)+iy)\cdot((x-1)-iy)}{((x-1)-iy)^2} = \frac{((x+1)^2-(iy)^2)}{((x-1)-iy)^2} = \frac{((x+1)^2-(iy)^2)}{((x-1)^2-(iy)^2)} $
$i^2$ könnte man ja jetzt noch mit -1 umformen...
Nun bin ich mir aber nicht sicher, ob mir diese Umformung weiterhilft.
Kannst Du mir da noch weiterhelfen?
Liebe Grüße und vielen Dank!
yafoo
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-23
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Hallo yafoo,
$i^2$ solltest Du schon ausrechnen. Das Ziel beim Erweitern ist ein reeller Nenner, um Real- und Imaginärteil zu erhalten. Daher erweiterst du mit dem konjugierten Nenner. Außerdem habe ich ein paar Rechen-/Schreibfehler gefunden. Im Zähler hast Du den 3ten binom falsch angewendet und im Nenner hast Du zwar das richtige Ergebnis , aber $((x-1)-iy)^2$ passt nicht.
Bevor Du mit Cauchy-Riemann beginnst: Habt Ihr schon etwas zu Summe, Produkt und Verknüpfung holomorpher Funktionen gemacht?
Und das konservativ rechnen nicht übertreiben;)
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yafoo
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-23
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Hey TomTom314,
danke für Dein Feedback. :)
Stimmt, da habe ich falsch gerechnet.
$\displaystyle \frac{(x+1)^2+y^2}{(x-1)^2+y^2} $ wäre dann jetzt das vorläufige Ergebnis.
Ich weiss wirklich nicht, wie man nun weiter rechnen muss.
Könntest Du mir da noch weiter helfen?
Nein, zu den Summe, Produkt und Verknüpfung holomorpher Funktionen haben wir noch nichts gemacht.
Liebe Grüße
yafoo
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Ex_Senior
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-05-23
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Hallo yafoo,
dann müssen wir durch das CR-Tor. Dein Ergebnis hat keinen Imaginärteil mehr (!?). Bei meiner Rechnung kommt
$\frac{(x^2-1)+y^2-2iy}{(x-1)^2+y^2}$
raus (bitte nochmal nachrechnen). Darauf kannst Du dann Cauchy-Riemann anwenden.
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yafoo
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-23
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Hey,
ja stimmt. :) Ich hatte im Zähler die Vorzeichen nicht richtig beachtet.
Wenn ich jetzt die CR DGL anwenden möchte, muss ich dann den Nenner als f berachten und den Zähler als g und dann mit dem Quotientenkriterium die Ableitung ermitteln?
Vielen Dank für Deine schnelle Hilfe.
Viele Grüße
yafoo
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2017-05-23
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Genau, und ohne Fragezeichen, wenn Du Dir sicher bist.
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yafoo
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-23
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Hey TomTom,
also im Zähler habe ich ja noch das i stehen. Muss man da doch die partielle Ableitung machen?
$\displaycode u(x,y)=x^2-1+y^2$ und $v(x,y)=-2y$
Dann sind $u_x(x,y)=2x $, $u_y(x,y)=2y $, $ v_x(x,y)=0$ und $v_y(x,y)=-2$
Dann würde ja die Ableitung des Zählers eine Matrix ergeben?
Die Ableitung des Nenners ist ja $w_x(x,y)= 2(x-1)$ und $ w_y(x,y)=2y$
Oder wie gehe ich damit um?
Danke für Deine Hilfe!
Liebe Grüße
yafoo
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Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2017-05-23
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Korrektur. Für CR vergleichst Du die partiellen Ableitungen von Re f und Im f, d.h. hier von u/w und v/w. Dafür benötigst du natürlich die partiellen Ableitungen, die Du ausgerechnet hast. Aber eine Matrix spielt da nicht mit.
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yafoo
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-23
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Wenn das keine Matrix wird, wie kann ich denn dann die Ableitung z.B.
$f´(x)$ darstellen?
Also ich muss doch diese Formal anwenden? $\displaystyle (\frac {f}{g})´ $ = $ \displaycode \frac{f´(z_0)\cdot g(z_0) - f(z_0)\cdot g´(z_0) }{g(z_0)^2} $
oder täusche ich mich?
Danke und liebe Grüße
yafoo
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Ex_Senior
| Beitrag No.11, eingetragen 2017-05-23
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Nochmal einen Schritt zu zurück. Was musst Du hier konkret zeigen, damit CR gilt?
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yafoo
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-23
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...dass die Funktion stetig ist?
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Ex_Senior
| Beitrag No.13, eingetragen 2017-05-23
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Da hast mich falsch verstanden. Ich möchte, dass Du die CR Differentialgleichungen für f ganz konkret aufschreibst, damit Du siehst, was Du zeigen musst (also nicht für mich).
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yafoo
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-23
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$\displaystyle \frac{u}{w} = \frac{(x^2-1)+y^2}{(x-1)^2+y^2}$ und $\displaystyle \frac{v}{w} = \frac{-2y}{(x-1)^2+y^2}$
Dann gibt es folgende Gleichungen:
$\displaystyle \frac{u_x}{w_x} = \frac{x}{x-2}$,
$\displaystyle \frac{u_y}{w_y} = 1$,
$\displaystyle \frac{v_x}{w_x} = 0$ und
$\displaystyle \frac{v_y}{w_y} = \frac{-1}{y}$
Meinst Du diese Gleichungen?
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Ex_Senior
| Beitrag No.15, eingetragen 2017-05-23
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So ähnlich. Was ist $\frac{\partial}{\partial x}\frac{u}{w}$ ?
Dann schreibt doch mal CR auf. Starte mit
$\frac{\partial}{\partial x}\frac{u}{w}=\ldots$
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yafoo
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-23
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Könntest Du da ein Beispiel geben, weil die Ableitung von u bei Dir im Zähler ja wieder nach x und nach y abgeleitet werden muss und dann weiss ich nicht wie ich zwei Terme in den Zähler schreiben soll. :)
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Ex_Senior
| Beitrag No.17, eingetragen 2017-05-23
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Bei der partiellen Ableitung werden die andern Variablen wie konstanten behandelt, z.B.
$\frac{\partial}{\partial x}\frac{x^2y}{x+y}=\frac{2xy(x+y)-(x^2y)\cdot 1}{(x+y)^2}$
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yafoo
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-24
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Ahh okay Danke dir! Ich habs jetzt endlich raus und konnte zumindest die Holomorphie prüfen. Die Abgabe wurde vorgezogen wegen des Feiertages!
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