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Universität/Hochschule Koeffizientenvergleich in DGL 2. Ordnung
TetrisCactus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-28


Hallo zusammen.

Ich habe folgende Randbedingungen:

I)   <math>\ddot{x}(t)+a_1 \dot{x}(t)+a_0x(t) = ~mit~a_1,a_0 \in \mathbb{R}</math>
II)  <math>x(0) = x_0, \dot{x}=y_0 ~mit~x_0,y_0 \in \mathbb{R}</math>.

Betrachtet werden soll, der Ansatz
<math>x(t) = b_1e^{\gamma_1 t}+b_2e^{\gamma_2 t} ~mit~ \gamma_1,\gamma_2,
b_1, b_2 \in \mathbb{C}</math>.
Durch Koeffizientenvergleich soll die Abhängigkeit <math>\gamma_1 ~und~ \gamma_2  ~von~ a_1 ~und~ a_2 </math> bestimmt werden.Außerdem wie hängt <math>b_1 </math>und <math>b_2 </math> von <math> x_0</math> und <math> y_0 </math> ab?

Ich habe <math>x(t)</math> abgeleitet und dazu bisher II.) eingesetzt, wobei ich dann
<math>x(0) = b_1 +b_2 = x_0</math> und <math>\dot{x}(0) = \gamma_1 b_1 +\gamma_2  b_2</math> erhalte.

Ich habe aber nun keine Ahnung, wie ich weiter machen muss.

Gruß,
Tetris



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-28


Hallo
 du hast nach dem Einsetzen eine Funktion e^(\gamma_1*t)*(....)+e^(\gamma_2*t)*(...)=0
die 2 Klammern müssen einzeln 0 sein.
 mach mal damit weiter,
Gruß lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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TetrisCactus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-28


Du meinst, wenn ich meine Ableitungen in I.) einsetze?

Dann habe ich
<math>e^{\gamma_1t}(\gamma_1^2b_1+a_1\gamma_1b_1+a_0b_1)+e^{\gamma_2t}(\gamma_2^2b_2+a_1\gamma_2b_2+a_0b_2)=0</math>

Durch die e-Terme ist klar, dass gilt:
<math>\gamma_1^2b_1+a_1\gamma_1b_1+a_0b_1 = 0</math>
<math>\gamma_2^2b_2+a_1\gamma_2b_2+a_0b_2 = 0</math>

Und nun?



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TetrisCactus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-28


Ich habe jetzt schon mal mit den Termen für <math>x(0)</math> und <math>\dot{x}(0)</math> weiter gemacht und bin damit auf die Abhängigkeiten <math>b_2(x_0,y_0) = \frac{\gamma_1x_0-y_0}{\gamma_1-\gamma_2}</math> und <math>b_1(x_0,y_0) = \frac{y_0-\gamma_2x_0}{\gamma_1-\gamma_2}</math> gekommen.

Für die Abhängigkeiten von <math>\gamma_{1,2}</math> finde ich durch Koeffizientenvergleich aber keine sinnvolle Lösung, da sich in den "Teilgleichungen" das <math>a_0~bzw~a_1</math> rauskürzt.
Oder übersehe ich irgendwas ganz Offensichtliches?
Mit würde nur noch auf dem ersten Blick einfallen, die Gleichungen jeweils einfach nach <math>a_0~bzw~a_1</math> umzustellen.



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loc-nar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-05-28


jetzt müsste eigentlich nur noch mit Hilfe der pq-Formel
<math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> bestimmt werden, oder?



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TetrisCactus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-28


Das war dann auch mein Gedanke, war nur nicht so sicher, ob es wirklich so "einfach" ist, weil ja der Koeffizientenvergleich gefordert war.
Danke aber dafür!



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