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 Formalisieren von Sätzen in Prädikatenlogik |
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leroxxx
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 |  Themenstart: 2017-06-10
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Hallo,
kann mir jemand helfen beim Formalisieren der Sätze in Prädikatenlogik? Eigentlich ist das ja glaube ich kein so schweres Thema aber ich habe so meine Probleme damit ob ich immer alle Teilaussagen "erwähne" und sie richtig verbinde.
1. Every rock band has a guitar player.
2. If anything is green, then A is also green while C is not.
3. If I am on a diet, I don't eat any food that contains sugar.
4. A is aboce C, D is on E and above F, and if something is on F, then so is G.
5. Only fast cars are allowed on some highways.
6. A formula is logically valid if it is true in every interpretation.
Vielen Dank vorab! :)
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-06-10
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Hallo leroxxx,
du musst zunächst für jedes vorkommende Objekt ein Variablen-, Konstanten-, Funktions- oder Prädikatensymbol spendieren und das dann sinnvoll verknüpfen. Etwa bei a:
R(x) : x ist eine Rockband
G(x) : x hat einen Gitarristen
dann:
$\forall x:R(x)\rightarrow G(x)$
Man kann das vielleicht auch anders machen. Kannst ja mal bei den restlichten Aufgabenteilen was vorschlagen.
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leroxxx
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-10
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Erstmal vielen Dank!
Zur 2. (da habe ich irgendwie Probleme mit dem "Während")
Ginge:
A(x): x ist grün
B(x): A ist grün
¬C(x): C ist nicht grün
Es existiert mind. 1x: (A(x) ∧ ¬C(x)) → B(x)
Zur 3. (da habe ich Probleme mit dem Essen, das Zucker enthält - führt man da eine weitere Variable ein? Ja oder?
A(x): x ist auf Diät
B(x,y): x isst y
C(y): y enthält Zucker
Also:
Es existiert mind. 1x und mind. 1y: A(x) → (B(x,y) ∧ ¬C(y))
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leroxxx
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-10
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Und zur 4)
A: A is Above C
B: D is on E
C: D is above F
D(x): x is on F
E(x): x is G
Es existiert mind. 1 x: (A∧B∧C∧D(x)) → F(x)
Zur 5)
A(x): x ist ein Auto
B(x): x ist schnell
C(x,y): x ist auf Highway y erlaubt
Es existiert mind. 1x und mind. 1y: (A(x)∧B(x)) → C(x,y)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.4, eingetragen 2017-06-10
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\quoteon(2017-06-10 17:46 - leroxxx in Beitrag No. 2)
Zur 2. (da habe ich irgendwie Probleme mit dem "Während")
Ginge:
A(x): x ist grün
B(x): A ist grün
¬C(x): C ist nicht grün
Es existiert mind. 1x: (A(x) ∧ ¬C(x)) → B(x)
\quoteoff
Hier sind A und C anscheinend Konstanten. Deshalb sind es keine Relationen oder Funktionen (hängen also von keinem x ab).
Ich würde hier eine Relation G(x) definieren. (G(x) ist wahr, falls x grün ist.)
Wie würde man dann "anything is green" formalisieren?
Zu 3:
"Ich" würde ich hier als Konstante I definieren. Der Rest ist m. E. schon ganz okay. Wie würde die Formel dann aussehen?
Bei 4 verstehe ich ehrlich gesagt nicht ganz den Unterschied zwischen above und on.
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leroxxx
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-10
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Hey, danke für die Rückmeldung!
Dann hier mal eine Korrektur:
Aufgabe 2)
A(x): x ist grün
B: A ist grün
¬C: C ist nicht grün
Es existiert mind. 1x: (A(x) ∧ ¬C) → B
Aufgabe 3)
G(x): x ist grün
B: A ist grün
¬C: C ist nicht grün
Es existiert mind. 1x: (A ∧ ¬C) → G(x)
Wobei ich mir da nicht ganz sicher bin ob das so ist, wie du dachtest?
Aufgabe 4)
I: "Ich" bin auf Diät
B(x): I isst x
C(x): x enthält Zucker
Es existiert mind. 1x und mind. 1y: I → (B(x) ∧ ¬C(x))
Zur 6 dann noch)
A(x): Formel x ist logisch
B(x,y): x ist logisch wenn y true
Es existiert mind. 1 x und es gilt für alle 4: A(x) → B(x,y)
Kann man das auch so machen?
Ich hoffe ich stelle mich nicht all zu blöd an, vielen Dank!
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.6, eingetragen 2017-06-11
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\quoteon(2017-06-10 23:28 - leroxxx in Beitrag No. 5)
Kann man das auch so machen?
\quoteoff
Ich glaube, du bist nicht ganz bei der Sache :-o
Schau dir z. B. noch mal in Ruhe an, was du bei 2 und 3 geschrieben hast ...
Auch den Rest kann ich nicht nachvollziehen. :-o
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leroxxx
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-11
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Oh entschuldige.., ich meinte natürlich folgendes:
Aufgabe 2)
G(x): x ist grün
B: A ist grün
¬C: C ist nicht grün
Es existiert mind. 1x: G(X) → (A ∧ ¬C)
Ich glaube es muss so herum statt anders herum (wie vorher gepostet), oder?
Aufgabe 3)
A: I ist auf Diät
B(x): I isst x
C(x): x enthält Zucker
Also:
Es existiert mind. 1x und mind. 1y: ( ¬C(x) ∧ A ) → B(x)
Ist es so vielleicht richtig? Also wenn das essen zuckerfrei ist und A (I ist auf Diät zutrifft) nur dann wird das essen gegessen?
Zur 6 dann noch)
A(x): Formel x ist logisch
B(x,y): x ist logisch wenn Interpretation y true
Es existiert mind. 1 x und es gilt für alle y: B(x,y) → A(x)
Vielen Dank für deine Mühe nochmal!! :-)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.8, eingetragen 2017-06-11
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\quoteon(2017-06-11 10:55 - leroxxx in Beitrag No. 7)
Aufgabe 2)
G(x): x ist grün
B: A ist grün
¬C: C ist nicht grün
Es existiert mind. 1x: G(X) → (A ∧ ¬C)
Ich glaube es muss so herum statt anders herum (wie vorher gepostet), oder?
\quoteoff
So herum ist es richtig. Und du meinst wahrscheinlich
A: A ist grün
Ich glaube aber nicht, dass die Aufgabe so gemeint war, dass also nicht ein Buchstabe für eine ganze Formel stehen soll.
Wenn du A und C als Konstanten annimmst und G(x) die Grün-sei-Relation ist, dann kann man "A ist grün" einfach als G(A) schreiben. Insgesamt:
$(\exists x:G(x))\rightarrow G(A) \wedge\neg G(C)$
Beachte auch die Klammern!
\quoteon
Aufgabe 3)
A: I ist auf Diät
B(x): I isst x
C(x): x enthält Zucker
Also:
Es existiert mind. 1x und mind. 1y: ( ¬C(x) ∧ A ) → B(x)
Ist es so vielleicht richtig? Also wenn das essen zuckerfrei ist und A (I ist auf Diät zutrifft) nur dann wird das essen gegessen?
\quoteoff
Hm, ich esse ja nicht ALLES zuckerfreie, wenn ich auf Diät bin! Außerdem: Wieso "existiert" x? Und was soll das y?
Hier würde ich wieder I als Konstante betrachten. Außerdem würde ich die Relationen
A(x) : x ist auf Diät
B(x,y) : x isst y
C(x) : x enthält Zucker
verwenden. Wie lautet dann die Formel?
\quoteon
Zur 6 dann noch)
A(x): Formel x ist logisch
B(x,y): x ist logisch wenn Interpretation y true
Es existiert mind. 1 x und es gilt für alle y: B(x,y) → A(x)
\quoteoff
Die Aussage hast du wohl falsch verstanden. Da steht nicht "logical" sondern "logically valid". D. h. dass die Formel bereits wegen der logischen Regeln gültig ist. Etwa "$A(x)\wedge B(x)\rightarrow B(x)\wedge A(x)$" ist logically valid. Während "$(\exists x:G(x))\rightarrow G(A) \wedge\neg G(C)$" das nicht ist. Das ist nur zufällig bei Teilaufgabe 1 der Fall, nämlich mit der speziellen Interpretation von G, A und C.
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leroxxx
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-11
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Hey, erstmal vielen Dank nochmal.
Die 2 macht so wirklich viel mehr Sinn, danke!
Zur 3) Wenn man hier das I wieder als konstante betrachtet dann könnte man doch sage:
Ich glaube bei den Realtionen meinst du bei C(y) statt C(x) oder? Weil x ist ja die Person die auf Diät ist und nicht dann auch noch das essen, das muss man ja getrennt betrachten oder?
Für alle x (da ja jede Person auf Diät auf Zucker verzichtet) und es ex. mind. 1y (da man nicht alles zuckerfreie isst): (¬C(y) ∧ A(I)) → B(x,y)?
Die 6 schaue ich mir gleich noch an. :)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.10, eingetragen 2017-06-11
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\quoteon(2017-06-11 17:35 - leroxxx in Beitrag No. 9)
Für alle x (da ja jede Person auf Diät auf Zucker verzichtet) und es ex. mind. 1y (da man nicht alles zuckerfreie isst): (¬C(y) ∧ A(I)) → B(x,y)?
\quoteoff
Versuche doch mal, den Fed-Generator oder Latex zu verwenden um die Quantoren darzustellen. Also:
$\forall x\wedge\exists y:(\neg C(y)\wedge A(I))\rightarrow B(x,y)$
Das erste $\wedge$ ist hier schon mal völlig fehl am Platz. Dies ist so keine Formel der Prädikatenlogik! Also entweder
$\forall x\exists y:(\neg C(y)\wedge A(I))\rightarrow B(x,y)$
oder
$\exists y\forall x:(\neg C(y)\wedge A(I))\rightarrow B(x,y)$
(Mache dir den Unterschied zwischen diesen beiden Varianten klar!)
Aber beides entspricht nicht der gewünschten Aussage. Z. B. das erste würde in etwa bedeuten:
Für jeden Menschen x gibt es ein Lebensmittel y, sodass, wenn das Lebensmittel y keinen Zucker enthält und ich Diabetiker bin, der Mensch x das Lebensmittel y isst.
Das ist offenbar Kokolores.
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