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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktionen auf der Kreisscheibe
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Universität/Hochschule Holomorphe Funktionen auf der Kreisscheibe
Keks1900
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  Themenstart: 2017-06-12

Hallo, ich sitze gerade an einer Aufgabe und bräuchte einen kleinen Input, um weiter zu kommen und würde mich sehr über jegliche Hilfe freuen. http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45466_mfp2.png $(a) \ \text{Weil f(0)=0 und f holomorph, kann ich f als Laurentreihe in 0 darstellen:}\\f(z)=\sum_{n=1}^\infty c_nz^n \\ \text{Ich denke warum das so aussieht ist klar}$ $=> \ \mid f(z)\mid=\mid \sum_{n=1}^\infty c_nz^n \mid \leq \sum_{n=1}^\infty \mid c_nz^n \mid = \sum_{n=1}^\infty \mid c_n \mid \mid z \mid ^n \\ \text{weil} \mid z \mid <1 \ => \ \mid z \mid ^n < \mid z \mid <1 $ Außerdem weiß ich: $\mid f(z)\mid <1$ Okay, was ist aber mit den $c_n$? Was kann ich mit denen machen? Ich kann auch mit dem Tipp nicht soviel machen. $(b) \ f'(z)=\sum_{n=1}^\infty c_n*n*z^{n-1} \ => \mid f'(0) \mid=\mid c_1 \mid$ Okay, selbes Problem: Ich kann keine Aussage über die Koeffizienten machen. Vielen Dank! Edit: Mir fällt gerade ein, dass ich den Betrag nicht einfach in die Summe ziehen kann, sondern ich muss die Dreiecksungleichung verwenden (verbessert).

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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-06-13

Hey Keks1900, mit der Potenzreihendarstellung kannst du auf jeden Fall erkennen, dass der Limes $\lim\limits_{z \to 0} \frac{f(z)}{z}$ existiert und daher $\frac{f(z)}{z}$ in der $0$ stetig, und damit auch holomorph, fortsetzbar ist (und gleich $f'(0)$ ist). Es wäre sinnvoll, dieser fortgesetzten, auf $\mathbb{D}$ holomorphen Funktion einen Namen zu geben, etwa $g$. Wende nun das Maximumsprinzip auf die Kreise $B_r(0):= \{ z \in \mathbb{C}: |z| \leq r \}$ für $0

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