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  Homoclinic orbit |
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Bruce94
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 24.05.2015
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 |  Themenstart: 2017-06-24
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Hi,
es geht um folgende Aufgabe:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/43051_Titelbild.JPG
Die (i) habe ich hinbekommen.
Bei der (ii) nehme ich an, dass ich nach t integrieren soll und erhalte doch genau das was in der Klammer steht als Stammfunktion. Warum man die Konstanten am besten auf 0 setzt, weiß ich nicht.
Bei der (iii) habe ich einmal die Gleichung aus (ii) direkt nach $\dot x$ aufgelöst, den Hinweis benutzt und $\dot x = \sigma/4 \cdot \sqrt{\sigma} \cdot cosh(\phi) \cdot sinh(2 \phi)= \frac{\sqrt{sigma}}{2} \cdot x \cdot \sqrt{1-\frac{2x}{\sigma}}$ erhalten. Leider ist das aber kein homoklinischer Orbit.
Hat jemand eine Idee?
Liebe Grüße, Bruce
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haerter
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| Beitrag No.1, eingetragen 2017-06-24
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Hallo,
bei (ii) solltest Du Dir überlegen, was die Wahl der Konstanten mit den gesuchten homoklinen Lösungen zu tun hat, denn für jede Konstante findet man irgendwelche Lösungen.
Bei (iii) ist es vermutlich so gemeint, dass Du $x(t)=\frac{\sigma}{2}\cosh^2(\theta(t))$ setzt und dann aus der x-DGL eine $\theta$-DGL machen solltest, die (wenn die Substitution etwas bringt) einfacher zu lösen sein sollte.
Viele Grüße,
haerter
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Bruce94
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-24
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Hi,
danke für deine Antwort.
Je nach Wahl der Konstante verschiebe ich meine Lösung in der $x - \dot x$-Ebene. Wenn meine Konstante also 0 ist, verschiebe ich sie nicht. Ich kann also mit der Konstante verändern wogegen meine Lösung konvergieren wird. Wieso aber 0 die richtige Konstante ist, weiß ich nicht.
Stimmt, ich leite ja nach t ab. Somit komme ich auf $\dot \phi(t)= \frac{\sqrt{\sigma}}{2} \cdot cosh(\phi(t))$
Aber was ist denn die Stammfunktion von $cosh(\phi(t))$, wenn ich nach t integriere?
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haerter
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| Beitrag No.3, eingetragen 2017-06-25
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Hallo,
irgendwie stocherst Du hier noch am Kern vorbei...
Eine andere Konstante bewirkt hier nicht eine einfache Verschiebung der Lösungen, sondern führt zu (ganz) anderen Lösungen. Die Frage ist also, warum man gerade für Konstante Null die gesuchten Lösungen bekommt.
Und bei der Koordinatentrafo musst Du natürlich nicht nur die Trafo ableiten, sondern alles in die DGL einsetzen, und so eine DGL für $\theta$ herleiten, die Du dann lösen musst. Mir ist das jetzt zu viel Aufwand nachzuprüfen, ob das am Ende klappt, aber wenn der Tipp in der Aufgabe angegeben ist, wird es schon gehen...
Viele Grüße,
haerter
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Bruce94
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-26
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Kann ich einfach sagen, dass ja die Funktion x und deren Ableitung gegen 0 konvergieren müssen. Wenn ich mir den Grenzwert der Stammfunktion anschaue, ist dieser 0. D.h. wenn meine Konstante 0 ist, kann ich ja schon gar keine Funktion mit den gewünschten Eigenschaften finden.
Habe alles in die DGL eingesetzt, vereinfacht und dieses Ergebnis erhalten durch Additionstheoreme und so weiter. Habe aber gerade noch mal nachgerechnet und nun $\dot \phi = 0.5 \cdot \sqrt{- \sigma} \cdot cosh(\phi)$ erhalten, was nicht so toll ist.
Es gilt: $\dot x = \sigma \cdot \cosh(\phi) \cdot \sinh(\phi) \cdot \dot \phi$
So folgt:
$(\sigma \cdot \cosh(\phi) \cdot \sinh(\phi) \cdot \dot \phi)^2 \cdot 0.5= \frac{\sigma^3}{8} \cdot cosh(\phi) \cdot (1-cosh^2(\phi)))$
Mit $(1-cosh^2(\phi)) = -sinh^2(\phi)$ folgt wie gesagt $\dot \phi = 0.5 \cdot \sqrt{- \sigma} \cdot cosh(\phi)$.
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haerter
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| Beitrag No.5, eingetragen 2017-06-26
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Hallo,
sorry, das mit $\dot \phi(t)= \frac{\sqrt{\sigma}}{2} \cdot cosh(\phi(t))$ habe ich jetzt auch heraus, da hätte ich doch früher mal genauer rechnen sollen.
Dann sollte es mit Trennung der Variablen weitergehen.
Viele Grüße,
haerter
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Bruce94
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-26
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\quoteon(2017-06-26 15:22 - haerter in Beitrag No. 5)
Hallo,
sorry, das mit $\dot \phi(t)= \frac{\sqrt{\sigma}}{2} \cdot cosh(\phi(t))$ habe ich jetzt auch heraus, da hätte ich doch früher mal genauer rechnen sollen.
\quoteoff
Kein Problem.
Ich könnte den Cosinus auf die andere Seite bringen. Die Stammfunktion wäre dann laut Integralrechner $arctan(sinh(phi))+C$, womit mein $x(t)=\frac{\sigma}{2} \cdot cosh^2(sinh^{-1}(tan(\frac{\sqrt{\sigma}}{2} \cdot t)))$ wäre, was ja aber auch nicht sonderlich schön ist.
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haerter
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| Beitrag No.7, eingetragen 2017-06-26
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Hallo,
ich könnte mir vorstellen, dass man $cosh^2(sinh^{-1}(...))$ noch vereinfachen kann.
es ist ja $\cosh^2-\sinh^2=1$.
Viele Grüße,
haerter
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Bruce94
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-28
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Stimmt, d.h. ich erhalte $x(t)= \frac{\sigma}{2} \cdot (1+tan(\frac{\sqrt{\sigma}}{2} \cdot t )^2)=\frac{\sigma}{2} \cdot \frac{1}{cos(\frac{\sqrt{\sigma}}{2} \cdot t)^2}$, womit $\dot x = \frac{\sqrt{\sigma^3}}{2} \cdot \frac{1}{cos(\frac{\sqrt{\sigma}}{2} \cdot t)^2}=\sqrt{\sigma} \cdot x$ folgt.
Somit ist $x(t)=e^{\sqrt{\sigma} \cdot t}$ die Lösung, was aber kein homokline Lösung ist.
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haerter
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| Beitrag No.9, eingetragen 2017-06-29
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Hallo,
ich habe gerade leider keine Zeit, das nochmal nachzurechnen, aber mir ist aufgefallen, dass der gesuchte homokline Orbit das Maximum bei $\sigma/2$ haben sollte und die Trafo $x=\sigma/2 \cosh^2 \theta$ dafür sorgt, dass $x\geq \sigma/2$ ist. Da stimmt irgendetwas nicht in der Aufgabenstellung.
Viele Grüße,
haerter
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Bruce94
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-30
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Ok, danke, werde es dann einfach so aufschreiben wie ich es nun gemacht habe und dann hinschreben, dass man keinen homoklinen Orbit hat.
Danke für deine Hilfe!
Liebe Grüße, Bruce
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haerter
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| Beitrag No.11, eingetragen 2017-06-30
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Nachfragen, ob in der Aufgabe vielleicht ein Schreibfehler ist?
Gruß,
haerter
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Bruce94
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-10
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Es gab tatsächlich einen Schreibfehler.
Die eigentliche Substitution sollte man mit $x = \frac{\sigma}{2} \cdot \frac{1}{cosh(\phi)^2}$ ausführen.
Damit erhalte ich
$ \dot x = - \sigma \cdot \frac{tanh(\phi)}{cosh(\phi)^2} \cdot \dot \phi$
und somit durch Einsetzen in die Stammfunktion
$\dot \phi = \frac{\sqrt{\sigma}}{2} \cdot t+C$.
Schließlich folgt $x(t) = \frac{\sigma}{2} \cdot \frac{1}{cosh(\frac{\sqrt{\sigma}}{2}\cdot t+C)^2}$, womit ich schließlich für t gegen unendich und minus unendlich gegen 0 konvergieren.
Danke für deine Hilfe!
Liebe Grüße, Bruce
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Bruce94 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Bruce94 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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