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Universität/Hochschule J Isomorphismus zwischen Summen von Moduln
Cielo
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Dabei seit: 01.05.2017
Mitteilungen: 123
  Themenstart: 2017-07-06

Hi zusammen, vielleicht genießt ihr ja nicht alle das schöne Wetter, sondern mögt mir bei meiner Algebra-Aufgabe helfen: Die Aufgabe lautet wie folgt: "Seien M,N und P endlich erzeugte Moduln über einem Hauptidealring mit: M\oplus\ P ~= N \oplus\ P Zu Zeigen: M ~= N" Intuitiv sehr klar für mich. Könnte ich mir für M\oplus\ P als auch N\oplus\ P beides modulo P anschauen und dann noch prüfen, ob dies isomorph zueinander ist? Also, im Grunde stelle ich mir das so vor: (M\oplus\ P) //(0,P) ~= (N\oplus\ P) //(0,P) und dann wäre ja das ja auf der linken Seite M und auf der rechten N. Sagt mir mal, was ihr davon haltet. Also, ob ich mit dem Ansatz weiterarbeiten sollte oder das Blödsinn ist. Viele Grüße und danke Cielo


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-06

Hallo Cielo, der Ansatz klingt nicht ganz verkehrt, hat aber einen Fehler. Z.B. für M=N=P hast Du einen Isomorphismus auf $P\oplus P: (p_1,p_2)\mapsto (p_2,p_1)$. Die induzierte Abbildung $P\oplus P/(0,P) \to P\oplus P/(0,P)$ ist aber dann die Nullabbildung. Für $\psi:M\oplus P\cong N\oplus P$ mit $\overline{\psi}:M\oplus P\to N\oplus P/P$ würde ich versuchen $(M\oplus P)/P\cong (M\oplus P)/\ker\overline{\psi}\cong (N\oplus P)/P$ zu zeigen.


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KidinK
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  Beitrag No.2, eingetragen 2017-07-06

Das Problem ist, dass der abstrakt gegebene Isomorphismus nicht den Untermodul $0\oplus P$ mit dem Untermodul $0\oplus P $ identifizieren muss. Daher wird kein solcher Isomorphismus zwischen deinen Quotienten induziert. Stattdessen musst du hier den Klassifikationssatz bemühen. Liebe Grüße, KidinK


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Cielo
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-09

Meine Form des Klassifikationssatz lautet: "Sei R ein HIR, M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes n_0 \el\ \IN_0 und für alle Primelemente p, für alle r \el\ N_0 ex. ein eindeutig bestimmtes n(p,r) \el\ \IN_0 sodass: M~= R^n_0 \oplus\ \oplus\ (R//(p)^r )^(n(p,r)) mit p \el\ R prim (bis auf Assoziiertheit), r\el\ \IN_0. Die Voraussetzungen sind erfüllt, da R HIR und die Moduln endlich erzeugt. Also kann ich den Satz auf M \oplus\ P ~= N \oplus\ P anwenden: M \oplus\ P ~= R^n_0 \oplus\ \oplus\ (R//((p_0))^r_0 )^(n_0(p_0,r_0)) \oplus\ R^n_1 \oplus\ \oplus\ (R//((p_1))^r_1 )^(n_1(p_1,r_1)) Und für N \oplus\ P gilt dann auch natürlich: N\oplus\ P ~= R^n_2 \oplus\ \oplus\ (R//((p_2))^r_2 )^(n_2(p_2,r_2)) \oplus\ R^n_1 \oplus\ \oplus\ (R//((p_1))^r_1 )^(n_1(p_1,r_1)) Wie fasse ich das denn am besten zusammen? Kann ich ich zB R^n_0 \oplus\ R^n_1 zu R^(n_0+n_1) zusammenfassen?


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2017-07-11

Es wird jeweils über alle Primelemente $p$ bis auf Assoziiertheit summiert, d.h. die Bezeichnungen $p_0,p_1,p_2$ sind überflüssig. Das gilt auch für $r_0,r_1,r_2$. Dann sollte auch das Zusammenfassen leichter fallen. Ja, es gilt $R^{n_0} \oplus R^{n_1} \cong R^{n_0+n_1}$. Alternativ kann man übrigens die Ulm-Invarianten benutzen, siehe http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1795. Das sind gerade diese Exponenten $n_M(p,r)$ für einen $R$-Modul $M$, aber aufgrund ihrer abstrakten Definition $n_M(p,r) = \dim_{R/p} (M[p] \cap p^r M) / (M[p] \cap p^{r+1} M)$ kommt sofort die Additivität $n_{M \oplus M'} = n_M + n_{M'}$ und damit die hier zu beweisende Kürzbarkeit heraus.


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Cielo
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-13

R^(n_0 + n_1) \oplus\ ( \oplus\ (R//p)^r)^(n_0(p,r) + n_1(p,r)) ~= R^(n_0 + n_2) \oplus\ ( \oplus\ (R//p)^r)^(n_0(p,r) + n_2(p,r)) und dann sollte daraus folgen, dass n_0 + n_1 = n_0 + n_2 sowie n_1(p,r) = n_2(p,r). Und damit ist dann M ~= N. Eine Frage habe ich noch: Was genau meint n(p,r)? Steht das enfach für eine Art Funktion?


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hippias
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  Beitrag No.6, eingetragen 2017-07-14

$n(p,r)$ beschreibt die Anzahl der zu $R/p^{r}$ isomorphen Summanden in der direkten Summe.


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Cielo
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-19

Danke an alle, ihr habt mir wieder einmal gut weitergeholfen!


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