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Strukturen und Algebra » Moduln » freie und torsionsfreie Z-Moduln
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Universität/Hochschule freie und torsionsfreie Z-Moduln
Cielo
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  Themenstart: 2017-07-09

Hi zusammen, ich sitze hier vor einer eigentlich recht leichten Aufgabe, allerdings bereitet sie mir dennoch in manchen Teilen Schwierigkeiten: Ich soll herausfinde, welche der folgenden \IZ-Moduln endlich erzeugt,torsionsfrei und frei sind. (a) \IQ // \IZ (b)\IZ[X] (c) \IZ[ sqrt(-5) ] = {a+b sqrt(-5) ; a,b \el\ \IZ} (d) A, wobei A eine endlich beliebige abelsche Gruppe ist. Ich habe meistens Schwierigkeiten zu zeigen, dass eine Basis existiert. Bisher habe ich das: (a) endliches Erzeugendensystem: kann ich nicht im Grunde alle Brüche zwischen 0 und 1 nehmen und diese stellen ein Erzeugendensytsem dar? torsionsfrei: \IQ // \IZ ist nicht torsionsfrei. Man nehme zB a=1/2 \el\ \IQ // \IZ und b=2\el\ \IZ, dann ist ab=0 in \IQ//IZ, obwohl beides als ungleich null vorausgesetzt. Basis: hier habe ich keinerlei Ansatzpunkte (b)endliches Erzeugendensystem: \IZ[X] hat kein endliches Erzeugendsystem. Denn dann ex. ein Polynom mit dem höchsten Grad d, aber alle Polynome mit Grad größer als d können nicht durch Linearkombinationen dargestellt werden. torsionsfrei: Wir wissen, dass \IZ Integritätsbereich ist, also auch \IZ[X]. \IZ[X] wird durch das Ideal (1,X) komplett erzeugt. Im Grunde kann ich also alle ganzen Zahlen darstellen in \IZ[X]. Für ein a\el\ \IZ, x\el\ \IZ[X] ist ax=0 nur wenn entweder a oder x gleich null sind. frei: hier hadere ich noch mit. Kann ich denn eine Basis haben, wenn ich kein endliches Erzeugendensystem habe? Oder ist es eine unendliche Basis? Dh 1,X,X^2 , X^3 , X^4, .... (c) endliches Erzeugendensystem: a+b sqrt(-5) mit a,b\el\ \IZ würde ja eher ein unendliches Erzeugendensystem darstellen. torsionsfrei: das Modul ist torsionsfrei, denn für 0!=t \el\ \IZ, und 0!= a+b sqrt(-5) aus \IZ[ sqrt(-5) ] gilt: t* ( a+b sqrt(-5)) = 0 <=> ta + b sqrt(-5)) = 0 <=> a = -b sqrt(-5) und das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, da a+b sqrt(-5) ungleich null sein sollte. frei: ich bin momentan am Überlegen, ob ich mit den beiden Elementen: 1 + 0 sqrt(-5) und 1+sqrt(-5) jedes Element aus der Menge zusammen mit Multiplikation darstellen kann. Wenn dem so wäre, gäbe es natürlich auch ein endliches Erzeugendensystem. (d) endlich erzeugt: Die Gruppe A ist endlich, muss das Modul dann nicht auch automatische endlich erzeugt sein? torsionsfrei: Hier habe ich noch keinen Ansatz. Ich denke, man muss die Kommutativität mit ins Spiel bringen. Basis: auch noch keinen Ansatz. Ich bin über jede Hilfe von euch dankbar! Cielo


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helmetzer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-09

Denke erst mal allgemein darüber nach: Wenn ein Modul nicht torsionsfrei ist, kann er dann frei sein? zu a) Brüche zwischen 0 und 1 gibt es viele (mehr als endlich viele). Betrachte mal gekürzte Brüche, endlich viele, und dann die Primfaktorzerlegung des Nenners einer Summe solcher Brüche. b) Das mit (1,X) ist natürlich Quatsch. Aber du hast eine unendliche Basis gefunden. [Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Moduln' von helmetzer]


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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.2, eingetragen 2017-07-09

Hi Cielo a. Freie Moduln sind torsionsfrei. $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ist ein Torsionsmodul, weil jedes Element $q=a/b$ durch das regulaere Element $b$ annihiliert wird. Also ist $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ nicht torsions-frei und folglich auch nicht frei. b. $\mathbb{Z}[X]$ ist torsions-frei, weil fuer jedes regulaere Element $a\in \mathbb{Z}$ ist die Multiplikation $ \mathbb{Z}[X]\overset{a}{\to}\mathbb{Z}[X]$ injektiv. EDIT Unsin: (Waere $\mathbb{Z}[X]$ frei, dann haette man: $\mathbb{Z}[X]\cong\mathbb{Z}^{\oplus S}$ fuer eine Menge $S$. Hierraus folgte dann $S=\{\star\}$, also $\mathbb{Z}[X]\cong\mathbb{Z}$. Modulo $2$ ist die linke Seite unendlich, die rechte aber endlich. Das ist ein Widerspruch. ) Ende EDIT c. Hier musst du nur eine Basis finden. Daraus folgt dann, dass das Modul frei ist, also insbesondere torsions-frei. d. Wegen der Endlichkeit folgt hier fuer jedes Element $a$ die Beziehung $na=ma$ fuer gewisse $n,m\in\mathbb{Z}, n\neq m$. Hierraus folgt, dass $A$ ein Torsionsmodul ist. Insbesondere kann $A$ nicht torsions-frei und auch nicht frei sein. Ein Element $r\in R$ eines Rings heisst regulaer, wenn es kein Nullteiler ist. Diese Definition ist natuerlicher und sinnvoller als die in der man nur $r\neq 0$ fordert, weil dann auch fuer nicht Integritaetsbereiche $R$ garantiert ist, dass $Tor_R(M)$ ein Untermodul von $M$ ist. Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. lg Daniel [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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helmetzer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-09

\quoteon(2017-07-09 16:19 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 2) Waere $\mathbb{Z}[X]$ frei, dann haette man: $\mathbb{Z}[X]\cong\mathbb{Z}^{\oplus S}$ fuer eine Menge $S$. Hierraus folgte dann $S=\{\star\}$, also $\mathbb{Z}[X]\cong\mathbb{Z}$. Modulo $2$ ist die linke Seite unendlich, die rechte aber endlich. Das ist ein Widerspruch. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff Hier lege ich ein Veto ein! $\mathbb{Z}[X]\;\cong\;\displaystyle\bigoplus_{i >= 0}\mathbb{Z}$ als $\mathbb{Z}$-Modul.


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xiao_shi_tou_
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  Beitrag No.4, eingetragen 2017-07-09

Hallo helmetzer. Du hast Recht. Das war unsinnig. Tut mir Leid, fuer diese falsche Aussage. lg


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Cielo
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-10

Ich habe mit euren Tipps jetzt wie folgt argumentiert: Also es gilt: Modul ist frei => Modul ist torsionsfrei (Wenn mein Modul frei ist und Torsionselemente hätte, würde die lineare Unabhängigkeit ja nicht mehr funktionieren) und die Umkehrung ist dann: Modul ist nicht torsionsfrei => Modul ist nicht frei (a) Wir haben gezeigt, dass wir Torsionselemente haben. Also können wir auch keine Basis haben. Aber dann kann es ja auch kein Erzeugendensystem geben, da bildlich gesprochen, alle Elemente der Basis im EZS liegen und noch weitere Elemente, die nicht linear unabhängig. (b) Wir finden die unendliche Basis: 1,X^2 ,X^3 ,X^4 ... Damit hat das Modul auch keine Torsionselemente. Und wir können auch kein endliches (!) EZS erhalten. (c) Wir erhalten eine Basis mit 1 und sqrt(-5). Also haben wir keine Torsionselemente, aber ein endliches EZS. (d) Hier greift Daniels Erklärung, dass wir mit einer endlichen Gruppe und a\el\ A und 0!=n!=m!=0 die Beziehung na=ma erhalten. Damit ist A Torsionsmodul, hat keine Basis und damit auch kein EZS.


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helmetzer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2017-07-10

a) ist noch falsch. Es ergibt immer ein Erzeugendensystem, nämlich die Menge aller Elemente eines Moduls. Zeige, dass es kein endliches Erzeugendensystem geben kann, beachte dabei meinen Hinweis: \quoteon(2017-07-09 16:07 - helmetzer in Beitrag No. 1) zu a) Brüche zwischen 0 und 1 gibt es viele (mehr als endlich viele). Betrachte mal gekürzte Brüche, endlich viele, und dann die Primfaktorzerlegung des Nenners einer Summe solcher Brüche. \quoteoff


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KidinK
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  Beitrag No.7, eingetragen 2017-07-10

d) ist auch falsch. Endliche Moduln sind endlich erzeugt. Liebe Grüße, KidinK


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