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 Ordnungsfunktion Rechenregeln |
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Ben-Oni
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.06.2017
Mitteilungen: 25
 |  Themenstart: 2017-07-13
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Hi,
eine Aufgabe, mir der ich nicht ganz klarkomme.
Seien $G\subseteq \mathbb C $ ein Gebiet, $z_0 \in G$ und $f,h: G \backslash \left\{z_0\right\} \to \mathbb C$ holomorph.
Wir definieren die Menge $Z$ als die Menge aller $n \in \mathbb Z$, sodass eine holomorphe Funktion $h: G \to \mathbb C$ existiert, die auf $G \backslash \left\{z_0\right\}$ mit $\frac{f(z)}{(z-z_0)^n}$ übereinstimmt.
Wir definieren
$ord(f,z_0)=\left\{\begin{array}{rl}\infty & \text{für } Z = \mathbb Z \\-\infty & \text{für } Z=\emptyset\\ max Z & \text{sonst }\\\end{array}$
analog definieren wir $ord(g,z_0)$
Zeige:
Ist $ord(f,z_0) \in \mathbb Z$, so gilt $ord(f,z_0) =
-ord(1/f,z_0)$
Ist $ord(f,z_0) = -\infty$, so gilt $ord(1/f,z_0)= -\infty$
und $ord(f \cdot g,z_0) = ord(f,z_0)+ord(g,z_0)$, falls $min\left\{ord(f,z_0),ord(g,z_0)\right\} > -\infty$.
Puh. Alles eingetippt.
Also bei der a) haben wir den Fall, dass es die Ordnung nicht unendlich ist, sondern das Maximum der n, für die es noch eine solche Funktion h gibt. Aber warum ist das gleich der Ordnung für 1/f (mit neg. Vorzeichen). Für 1/f stünde das f dann eben im Nenner... Welchen Einfluss hat das auf die Ordnung?
Bei b) wird ja gesagt, wenn es kein n gibt, sodass so ein h existiert für f, dann auch nicht für 1/f. Das macht schon irgendwie Sinn, beweisen kann ich es aber ebenso wenig wie
c).
Bitte helft mir ein bisschen dabei.
Ich danke euch.
Grüße
Ben-Oni
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Bai
Senior 
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-13
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Hi,
du musst eigentlich nur die Definition einsetzen und umstellen. Die Angabe setzt implizit voraus, dass f Nullstellenfrei auf G ist (überlege dir, weshalb).
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Ben-Oni
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.06.2017
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-13
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Ich verstehe aber noch nicht ganz, was genau ich wo einsetzen soll.
Wie sieht denn ord(1/f, z_0) aus?
Könntest du mir das vielleicht beispielhaft kurz zeigen?
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-13
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\quoteon(2017-07-13 12:34 - Ben-Oni in Beitrag No. 2)
Ich verstehe aber noch nicht ganz, was genau ich wo einsetzen soll.
Wie sieht denn ord(1/f, z_0) aus?
Könntest du mir das vielleicht beispielhaft kurz zeigen?
\quoteoff
Sei $\text{ord}(f,z_0)=k$. Dann gibt es eine holomorphe Funktion $h:G\to\IC$, sodass ...
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Ben-Oni
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.06.2017
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-16
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... sodass h auf $G \backslash \left\{z_0\right\}$ mit $\frac{f(z)}{(z-z_0)^n}$ übereinstimmt. Soweit ja klar.
Analog mit $\frac{1}{f(z)}$ würde es dann $\frac{\frac{1}{f(z)}}{(z-z_0)^n}$ heißen.
Aber ich kann das irgendwie immer noch nicht in Zusammenhang bringen, wie kann ich hier umstellen?
Ich komm einfach nicht drauf, irgendwas überseh ich wohl noch
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Ben-Oni
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.06.2017
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-17
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Wahrscheinlich ist das für euch ganz klar, aber ich verstehs einfach noch nicht.
Könnte mir jemand kurz zeigen wie das geht? Danke :)
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| Ben-Oni hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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