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  Isolierte Singularitäten bestimmen |
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Katha95
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 |  Themenstart: 2017-07-28
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Hallo,
ich löse gerade zur Klausurvorbereitung ein paar Aufgaben zu isolierten Singularitäten, und habe noch einige Fragen.
1.) für f(z)=z^2 ist z = 0 eine isolierte Singularität. Warum ist sie hebbar? Ist es, weil gilt lim(z->0,z^2) = 0 ?
2.) f(z) = sin(z)/z^5 = 1/z^5 * sum((-1)^n *z^(2n+1) /(2n+1)!,n=0,\inf ) = sum((-1)^n *z^(2n-4) /(2n+1)!,n=0,\inf ) laut Skript, warum ist dann 0 ein Pol 4-ter Ordnung? Laut Definition müssten ja in der Laurentreihe alle a_n mit n<-4 gleich 0 sein damit 0 Pol 4. Ordnung ist. Müsste ich das so machen: f(z) = sum((-1)^(n+4) *z^2n /(2*(n+4)+1)!,n=-4,\inf ) ?
3.) warum ist für f(z)=sin(1/z) z=0 eine wesentliche Singularität? Gilt f(z) = sin(1/z)=sum((-1)^n *1/(z^(2n+1))*1/(2n+1)! ,n=0,\inf ) = sum((-1)^n *(z^(2n+1))/(2*(-n)+1)! ,n=-\inf ,0) ? Denn dann wären ja unendlich viele Glieder der Laurentreihe mit negativem Exponenten und somit 0 wesentliche Singularität.
4.) f(z) = 1/sin(z) hat einen Pol in z=0 weil lim(z->0,abs(1/sin(z))) = \inf gilt. Und es ist ein Pol 1. Ordnung weil g(z) = 1/f(z) = sin(z) in 0 eine einfache NST hat, korrekt?
5.) f(z) = -1/((z-1)*(z+1)) hat isolierte Singularitäten in z=1 und z=-1. Es gilt lim(z->1,abs(f(z))) = \inf und lim(z->1,abs(f(z))) = \inf, also ist nur z=-1 ein Pol 1. Ordnung, oder?
und zum Schluss 6.)
f(z) = (sin(2z))^2/(cos(z)*(1+cos(2z))) hier habe ich wirklich keine Idee, weil cos und sin ja periodische Nullstellen haben. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Und generell wäre ich froh, wenn mir jemand sagen kann, ob die Ergebnisse soweit stimmen und ob noch was fehlt bzw. ergänzt werden sollte.
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Bai
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| Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-28
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Hi,
1. Für beliebige $\epsilon>0$ ist f auf $K_\epsilon(0)$ beschränkt.
2. Müssen nicht, kannst du aber. Man sieht es der Reihe ja schon an.
3. Ja, da du um die 0 entwickelt hast, geht das.
4. Dein Grenzwert ergibt keinen Sinn. Erstens musst du dabei Beträge betrachten, zweitens hast du n nicht definiert. Du meinst aber vermutlich das Richtige.
5. Analog zu 4. Es sind natürlich beides Pole.
6. Wo genau liegt das Problem? Du kannst doch auch hier die üblichen Betrachtungen machen, beginnend damit, dass du zunächst mal feststellst, wo die Singularitäten liegen.
Insgesamt fehlen z.B. bei 4 noch alle anderen Polstellen $\pi\IZ$.
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Katha95
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-29
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Hi, danke für die Antwort.
zu 1.) ich kenne den Satz über die Beschränktheit, habe ihn aber noch nicht ganz nachvollziehen können als Kriterium zum isolierte Singularitäten einstufen, würdest du mir vielleicht kurz erklären wie man darauf kommt? Und K_\epsilon (0) ist ein Kreis mit Radius \epsilon und Mittelpunkt 0 oder? (Nur weil wir das immer anders benannt haben)
zu 2.) okay, die Umformung ist aber soweit korrekt oder? Ich bin noch etwas unsicher bei den Laurentreihen. Und man sieht es an der Reihe wegen dem Exponenten (2n+1) von z, oder? Kann man in solchen Fällen direkt feststellen, dass \forall\ n<-4 dann a_n = 0 gilt?
3.) wäre ja somit geklärt, danke
4.) habe das mit dem Grenzwert bei 4. und 5. korrigiert, habe beim Abschreiben aus dem Skript die Beträge vergessen. Stimmt das mit g(z) = 1/f(z) denn soweit als Begründung?
Und die fehlenden Pole sind mir bewusst, ich habe hier die Musterlösung einer alten Klausur durchgearbeitet, allerdings gab es dazu keine Aufgabenstellung, ich vermute, dass in der Aufgabe nur verlangt wurde den Pol z=0 zu überprüfen, denn für z_k = k*\pi mit k\el\ \IZ sind alle z_k ja Pole 1. Ordnung, da für alle z_k gilt lim(z->z_k,1/sin(z)) =\inf
5.) und natürlich sind dann z=1 und z=-1 Pole 1. Ordnung
6.) hier ist mein Problem, dass es so viele Nullstellen bzw. isolierte Singularitäten gibt und ich es schwer fand, dann einzustufen welche wirklich Singularitäten sind und welche nicht, weil der Bruch ja auch nicht verschwinden darf. Ich habe jetzt folgendes: Nullstellen von Nenner:
NST von cos(z) sind z_k = \pi*k-\pi/2 für k\el\ \IZ (1. Ordnung)
NST von 1+cos(2*z) sind z_k = \pi*k-\pi/2 für k\el\ \IZ (2. Ordnung)
also insgesamt ist z_k =\pi*k-\pi/2 für k\el\ \IZ Nullstelle des Nenners 3. Ordnung und somit isolierte Singularität
Die Nullstellen von (sin(2z))^2 sind z_k = \pi*k/2 mit k\el\ \IZ
Insgesamt überschneiden sich die Nullstellen also, wie kann ich da jetzt einen Grenzwert bilden oder was ist generell zu tun?
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Bai
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| Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-29
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1. Also wenn das für dich nicht klar ist, dann kannst du es ruhig expliziter aufschreiben. Du kannst ganz einfach ein Maximum von f angeben auf dem Kreis.
2. Klar.
4. Ja.
6. Wieso unterscheiden sich die Nullstellen? Du hast doch sämtliche Stellen bei $(2k+1)\frac{\pi}{2}\IZ$. Und jetzt berechne z.B. mal den Grenzwert $\lim\limits_{z\to\frac{\pi}{2}}(z-\frac{\pi}{2})f(z)$.
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Katha95
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-30
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zu 1.) also irgendwie blicke ich da noch nicht ganz durch. Für B_r (0) gilt ja abs(z) abs(z)^2 < r^2 <=>z^2
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Bai
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| Beitrag No.5, eingetragen 2017-07-30
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1. Fast. Deine zweite Äquivalenz funktioniert nur für $|z|>1$. Man muss also noch eine Fallunterscheidung für $r>1$ bzw. $r<1$ machen und erhält zwei unterschiedliche Maxima. Aber die Erkenntnis bleibt dieselbe: f ist beschränkt.
6. Also ich erhalte -2. Muss aber auch gestehen, dass ich das jetzt nicht von Hand ausgerechnet habe.
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Katha95
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-30
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Ach stimmt, bei 1. geht das nicht so einfach. Aber ich hab es jetzt verstanden, danke
zu 2.) also wenn eine reelle Zahl rauskommt, kann es doch kein Pol sein, oder? f(z) müsste doch gegen unendlich verlaufen für z-> pi/2.
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Bai
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| Beitrag No.7, eingetragen 2017-07-30
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Achtung, es ging nicht um den Grenzwert von f.
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Katha95
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-30
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Worum genau ging es dir denn?
Ich wollte nachweisen, dass lim(z->\inf/2,abs(f(z)) =\inf gilt,
was ja bedeuten würde, dass f(z) in z=\pi/2 eine Polstelle hat. Wenn ich das programmiere kommt auch \inf heraus, aber ich weiß nicht wie ich das per Hand lösen soll.
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Katha95
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-31
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Ich habe gerade die Definition gefunden, mit der du vermutlich arbeiten wolltest, die war mir vorher nicht bekannt. Also f ist holomorph und hat in z_0 = \pi/2 einen Pol der Ordnung m (=1), wenn es eine in B_r(z_0) holomorphe Funktion h(z) gibt mit f(z)=(z-\pi/2)^(-m)*h(z) <=> wenn h(z)=(z-\pi/2)^m *f(z) holomorph in B_r(z_0) ist.
Und wenn man den Grenzwert berechnet, von dem du in Beitrag 3 gesprochen hast, hat man praktisch das r herausgefunden für den Kreis, in dem h(z) holomorph ist?
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Bai
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| Beitrag No.10, eingetragen 2017-07-31
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\quoteon(2017-07-31 00:17 - Katha95 in Beitrag No. 9)
Und wenn man den Grenzwert berechnet, von dem du in Beitrag 3 gesprochen hast, hat man praktisch das r herausgefunden für den Kreis, in dem h(z) holomorph ist?
\quoteoff
Nein, dieses r kann natürlich maximal so groß werden wie der Abstand zur nächsten Singularität (hier also $\pi$). Es ging mir eher um den Exponenten, in deinem Fall das m, das die Ordnung des Pols gleich spendiert, falls es minimal ist. Und kleiner als 1 wird es nicht, falls die Singularität nicht hebbar ist.
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Wauzi
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2017-07-31
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hallo,
warum bei der 1. so kompliziert?
Eine Singularität ist hebbar, wenn die (holomorphe) Funktion "außerhalb" der Singularität auf diese holomorph fortsetzbar ist. Und das ist hier trivial, weil die gegebene Funktion ihre eigene Fortsetzung ist, denn f(z)=z^2 ist eine Potenzreihe um 0 mit unendlichem Konvergenzradius und damit in einer Umgebung um 0 holomorph.
Oder noch kürzer, weil alle Koeffizienten der Potenzreihe mit negativem Index 0 sind.
Gruß Wauzi
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Katha95
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-03
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Danke für eure Antworten. Stimmt, bei der 1) könnte man es sich viel einfacher machen. Und den Weg für 6.) kann ich jetzt auch nachvollziehen. Leider kamen in der Klausur wirklich gemeine Funktionen vor, bei denen es einem nicht so leicht viel die Verfahren anzuwenden oder Kriterien zu prüfen, aber naja, da kann man wohl nichts machen.
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Bai
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| Beitrag No.13, eingetragen 2017-08-03
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\quoteon(2017-08-03 13:30 - Katha95 in Beitrag No. 12)
Leider kamen in der Klausur wirklich gemeine Funktionen vor, bei denen es einem nicht so leicht viel die Verfahren anzuwenden oder Kriterien zu prüfen, aber naja, da kann man wohl nichts machen.
\quoteoff
Hast du da zufällig noch eine von im Kopf? Würde mich mal interessieren, da ich auch demnächst Klausur in Funktionentheorie schreibe.
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Katha95
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-03
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Ja, ein paar habe ich noch im Kopf. Also die Aufgabe war: bestimme bei folgenden Funktionen die Singualritäten und gib an, ob es sich um Polstellen oder wesentliche Singularitäten handelt, und warum es nicht mehr, als die von Ihnen bestimmten gibt.
Die Funktionen die ich noch weiß waren exp(1-1/z) , (z-i)/(z^2+1) und sin(z)^2/(1-cos(2z))
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Bai
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| Beitrag No.15, eingetragen 2017-08-03
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Danke!
Aber die sind doch eigentlich noch ganz okay, oder?
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Katha95
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-03
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Kein Problem.
Ja das ging noch, die Zeit war leider extrem knapp, deshalb kam alles ein bisschen zu kurz und man hatte kaum Zeit sich das genau anzuschauen. Aber wenn man direkt bemerkt, dass sin^2(z)/(1-cos(2z)) = 1/2 gilt, statt erstmal alle Polstellen zu berechnen und es dann zu bemerken, hätte man bestimmt schon etwas Zeit gespart.
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