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Universität/Hochschule Z/nZ Anzahl der Nullteiler, Einheiten, Ideal, ...
PrinzessinEinhorn
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  Themenstart: 2017-08-14

Hallo, ich möchte für den Ring $\mathbb{Z}/42\mathbb{Z}$ die Anzahl seiner I) Nullteiler II) Einheiten III) Ideale IV) Primideale V) maximalen Ideale bestimmen. Dabei möchte ich dann auch direkt eine ganz allgemeine Bedingung für beliebige Ringe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ angeben und beweisen. Dabei äußere ich erst einmal meine Vermutung und werde später einen Beweis nachliefern. Zu I): Die Nullteiler sind $\{2,3,4,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40\}$ Das sind alle Zahlen die mit 42 einen gemeinsamen Teiler haben. Wenn ich mich nicht verzählt habe, sind das 29 Nullteiler. Ich vermute also, dass $0,1\neq a\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ genau dann ein Nullteiler ist, wenn $\mathrm{ggT}(a,n)\neq 1$ Zu II): Die Einheiten sind dann alle von Null verschiedenen Elemente, die keine Nullteiler sind. Das sind dann 12. Vermutung: $0\neq a\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist genau dann eine Einheit, wenn $a$ kein Nullteiler ist. Zu III): Die Ideale sind (2), (3), (6), (7), (14), (21), also sechs. Vermutung: Die Ideale von $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sind genau die, welche von den nichttrivialen Teilern von $n$ erzeugt werden. zu IV) und V): Die Primideale sind genau die maximalen Ideale und werden von den Primteilern (2), (3), (7) erzeugt. Denn ein Ideal p von R ist genau dann Primideal, wenn R/p ein Integritätsbereich ist. Ein Ideal m von R ist genau dann maximales Ideal, wenn R/m ein Körper ist. Ein Integritätsbereich wäre hier dann aber automatisch ein Körper, da endlich. Also fallen beide zusammen. Im allgemeinen Fall wären das dann die Primteiler von n. Meine Beweisideen zu den einzelnen Teilen äußere ich später. :) Bis dahin freue ich mich über Korrekturen. Vielen Dank im voraus.


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-14

Ich würde erst die Einheiten bestimmen. $[a]$ ist genau dann eine Einheit, wenn $a,n$ teilerfremd sind. Jede Einheit ist ein Nichtnullteiler, also kürzbar. In einem endlichen kommutativen Ring gilt auch die Umkehrung (überlege dir warum), also jedes kürzbare Element ist eine Einheit. Übrigens ist die Null in jedem nichttrivialen Ring ein Nullteiler, die hast du vergessen. Du hast auch die trivialen Ideale vergessen. Am besten du gibst eine beidseitig ordnungsumkehrende Bijektion (also einen Antiisomorphismus von partiellen Ordnungen) zwischen den Idealen von $\mathds{Z}/n\mathds{Z}$ (bez. Inklusion geordnet) und den nichtnegativen Teilern von $n$ an (bez. Teilbarkeit geordnet). Die maximalen echten Ideale werden folglich auf die bez. Teilbarkeit minimalen Teiler $>1$ von $n$ abgebildet, also die Primteiler von $n$.


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