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 komplexe Fkt., Ableitung=0 -> f konstant |
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Bilo123
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 07.04.2016
Mitteilungen: 69
 |  Themenstart: 2017-08-15
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Hallo,
wie im Titel schon erwähnt, geht es darum zu zeigen, dass wenn eine Funktion $\displaystyle f:G\to\mathbb{C}$ ($\displaystyle G$ Gebiet) analytisch ist mit $\displaystyle f'(z)=0~\forall z\in G$, dass folgt: $\displaystyle f$ ist konstant.
Wir hatten folgenden Beweis:
Seien $\displaystyle z_0,z_1\in G$ mit $\displaystyle \gamma(t)=z_0+t(z_1-z_0)\subset G$ für alle $\displaystyle t\in[0;1]$. Dann gilt
$\displaystyle \frac{d}{dt}f(\gamma(t))=f'(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)=0$
Soweit ist es mir noch klar. Nun wird argumentiert:
$\displaystyle f(z_1)=f(\gamma(1))\stackrel{\star}{=}f(\gamma(0))=f(z_0)$
Und den Schritt mit $\displaystyle \star$ verstehe ich nicht. Warum gilt dies aufgrund der obigen Gleichung?
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9721
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-15
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Hallo Bilo,
hier kann man den reellen Satz anwenden, dass aus $f'=0$ die Konstanz von $f$ folgt.
Das beweist man zwar zunächst nur für reellwertige Funktionen, weil das aber für Real- und Imaginärteil gilt, stimmt es auch für komplexwertige.
Wally
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Bilo123
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 07.04.2016
Mitteilungen: 69
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-15
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hm, ok. Aber ist es auch mit meiner angeführten Variante möglich? Gerade der markierte Schritt ist mir unklar.
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Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
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 |  Beitrag No.3, eingetragen 2017-08-15
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@Wally: $f$ ist auf einem Gebiet in $\mathds{C}$ definiert.
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Ex_Senior
| Beitrag No.4, eingetragen 2017-08-15
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Für eine analytische/holomorphe Funktion gilt
$$ \int_\gamma f'(z)dz = F(b)-F(a) $
für alle Wege $\gamma$ von a nach b. Falls Du dieses noch nicht kennst, kannst Du im wesentlich dasselbe Ergebnis erhalten, indem Du mittels Trennung von Real-/Imaginärteil den reellen Fall betrachtest.
Nach einsetzen der Definition des Wegintegrals siehst man, dass dieses unter der Bedingung $f'(z)=0$ auch null ist.
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Ex_Senior
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-08-15
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@Triceratops: Ich sehe da kein Problem. Der Satz gilt doch auch für die totale Ableitung in $\mathbb R^2$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9721
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| Beitrag No.6, eingetragen 2017-08-15
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@TomTom: das soll wohl gerade bewiesen werden.
@Triceratops: $f\circ\gamma$ ist auf $[0,1]$ definiert.
Wally
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2017-08-15
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\quoteon @TomTom: das soll wohl gerade bewiesen werden.
\quoteoff
Das ist die Gretchenfrage. Der Beweis von Bilo123 liefert nach ein paar kleinen Änderungen auch: holomorph => Integral wegunabhängig.
@Bilo123
Um von
$\displaystyle \frac{d}{dt}f(\gamma(t))=f'(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)=0$
auf $f(\gamma(1))\stackrel{\star}{=}f(\gamma(0))$ zu schließen, berechnest Du das Integral
$$ \int_0^1 (f(\gamma(t))'dt$
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9721
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| Beitrag No.8, eingetragen 2017-08-15
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Hallo TomTom, das stimmt - falls der Hauptsatz auch für komplexwertige Funktionen gilt, bzw. falls das bewiesen wurde.
Hier kann nur Bilo entscheiden, je nachdem, was in der Vorlesung schon dran war.
Wally
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Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2017-08-17
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Hallo Wally,
ich sehe nicht, wie man hier ohne Hauptsatz für komplexwertige Funktionen auskommen kann.
Oder kann ich $f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=\int_0^1 (f(\gamma(t))'dt$ auch ohne Hauptsatz zeigen?
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