| Autor |
 Holomorphie |
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LisaB123
Junior 
Dabei seit: 28.08.2017
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2017-08-28
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Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe, die ich nicht lösen kann. Vielleicht könnte mir von euch jemand bei der Lösung helfen:
Für eine ganze holomorphe Funktion nehme eine Folge $a_n$ mit $\lim_{n \to \infty} a_n =a$ $(a_n\in \mathbb{R})$ reelle Werte an. Zeige, dass $f$ auf der gesamten reellen Achse reelle Werte annimmt.
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Triceratops
Wenig Aktiv 
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-28
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Die Aussage ist falsch. Das liegt daran, dass es sich nicht um die originale Aufgabenstellung handelt. Poste diese bitte.
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Gestath
Aktiv 
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 242
| Beitrag No.2, eingetragen 2017-08-28
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@Triceratops
Könntest Du bitte ein Gegenbeispiel angeben?
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LisaB123
Junior
Dabei seit: 28.08.2017
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-28
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Was meinst du mit "originale" Aufgabenstellung.
Ist eine Voraussetzung falsch formuliert?
Eigentlich sollte die Aufgabe richtig gestellt sein.
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Triceratops
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.4, eingetragen 2017-08-28
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Ein Gegenbespiel ist $f(z) = iz$, $a_n = 0$.
Es fehlt eine Voraussetzung. Man kann sich denken, welche es ist, aber das sollte der Aufgabensteller spezifizieren.
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LisaB123
Junior
Dabei seit: 28.08.2017
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-28
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Vermutlich sollte $ a_n $ nicht konstant 0 sein.
Oder gibt es dann noch andere Probleme?
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Triceratops
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| Beitrag No.6, eingetragen 2017-08-28
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LisaB123
Junior
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-28
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Vielleicht kannst du mir etwas auf die Sprünge helfen?
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2017-08-28
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Hier sollte $a_n \neq a$ für unendlich viele n gelten. Üblicherweise wird dieses einfach für alle n gefordert. Die Aufgabe selbst sieht ganz stark nach Beweis mittels Identitätssatz aus. Was hast Du bisher probiert?
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LisaB123
Junior
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-29
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Ich habe versucht eine Folgerung des Identitätssatzes anzuwenden (s. Busam,Freitag):
"Zwei holomorphe Funktionen auf einem Gebiet $D$ stimmen überein, wenn sie auf einer Folge $a_n$ mit $a_n\in D, a_n\neq a$, und $lim_{n\to\infty} a_n=a \in D$ übereinstimmen."
Ich wusste aber nicht so richtig wie ich die zweite Funktion und wie ich $D$ wählen sollte.
Gibt es noch bessere Korollare aus dem Identitätssatz?
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Triceratops
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| Beitrag No.10, eingetragen 2017-08-29
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Betrachte die ganze(!) Funktion $g(z) := \overline{f(\overline{z})}$. Es gilt $g(a_n)=f(a_n)$. Kommst du damit weiter?
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LisaB123
Junior
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-29
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Sehr gut. Vielen Dank!
Wozu braucht man das konjugiert konjugiert komplex auf dem $z$ bei $g(z) := \overline{f(\overline{z})}$?
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Ex_Senior
| Beitrag No.12, eingetragen 2017-08-29
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Für den Identitätssatz benötigt man zwei holomorphe Funktionen. Daher muß auch gezeigt werden, dass g holomorph ist.
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Triceratops
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| Beitrag No.13, eingetragen 2017-08-29
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Selbst wenn $f(\overline{z})$ oder $\overline{f(z)}$ holomorph wären (was i.A. nicht der Fall ist), würde man damit den Beweis nicht abschließen können. Aber $g$ ist holomorph, und damit funktioniert der Beweis.
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LisaB123
Junior
Dabei seit: 28.08.2017
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-30
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Also die korrekte Frage und Lösung sollte also folgendermaßen lauten. (Da ich kein Funktionentheorie-Experte bin findet sich bestimmt noch die ein oder andere Unsauberheit.)
Frage:
Für eine ganze holomorphe Funktion $f$ nehme eine Folge $a_n$ mit $\lim_{n \to \infty} a_n =a$ $(a_n\in \mathbb{R} $ und $a_n\neq a$ ) reelle Werte an. Zeige, dass $f$ auf der gesamten reellen Achse reelle Werte annimmt.
Lösung:
Mit Hilfe einer Folgerung aus dem Identitätssatz:
"Zwei holomorphe Funktionen auf einem Gebiet $D$ stimmen überein, wenn sie auf einer Folge $a_n$ mit $a_n\in D, a_n\neq a$, und $lim_{n\to\infty} a_n=a \in D$ übereinstimmen."
Sei $g(z)= \overline{f(\overline{z})}$ für $z\in\mathbb{C}$. Dabei ist $g$ holomorph und $g(a_n)=\overline{f(\overline{a_n})}=f(a_n)$. Daraus folgt mit dem Identitätssatz, dass $f=g$ auf $\mathbb{C}$.
Sei nun $x\in \mathbb{R}$. Dann gilt: $f(x)=g(x)=\overline{f(x)}$ und somit $f(x)\in \mathbb{R}$.
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Triceratops
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.15, eingetragen 2017-08-30
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Du hast noch nicht begründet, warum $g$ holomorph ist.
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LisaB123
Junior
Dabei seit: 28.08.2017
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-30
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Dazu gibt es hier einen hilfreichen Eintrag:
\quoteon(2007-05-14 21:02 - Buri in Beitrag No. 1)
\quoteoff
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.17, eingetragen 2017-08-30
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Oder man verwendet die Äquivalenz von Holomorphie und lokaler Potenzreihendarstellung.
Wally
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