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  Holomorphe Abbildung |
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Neodym342
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 145
 |  Themenstart: 2017-09-07
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Hallo,
eine alte Klausuraufgabe wo ich Hilfe benötige:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44146_aufgabe2.png
Meine Ansätze:
1. Nach dem lokalen Darstellungssatz (so haben wir ihn genannt) lässt sich $f$ in einer offenen Umgebung von 0 so darstellen: $\displaystyle f(z)=z^kg(z)$ mit $g(0)\neq 0$.
Woher weiß ich nun, dass $k=1$ ? Also die NST die Ordnung 1 hat?
Angenommen ich habe das gezeigt.
Angenommen $f$ besitzt ein Maximum, dann wäre $f$ auch konstant, also $f(z)=0$. Wenn $f$ konstant, dann ist auch $zg(z)=0$. Dann wäre jedoch $g(0)=0$ was im Widerspruch steht. Also besitzt $f$ kein Maximum in $B(0,1)$. Nun ist $\displaystyle \abs{g}=\abs{\frac{f}{z}}<\frac{1}{\abs{z}}<\frac{1}{r}$.
2.
$\displaystyle\abs{f'(z)}=\abs{g(z)+zg'(z)}$
$\displaystyle \Rightarrow \abs{f'(0)}=\abs{g(0)}$
mit $\abs{g(z)}\leq1 \Rightarrow \abs{f'(0)}<1 $
3.
Hier weiß ich ehrlich gesagt nicht was ich machen soll.
4.
Hier hatte ich verucht die Ableitung von $f^{-1}(f(z))=z$ zu betrachten, kam aber nicht zum Ergebnis. Für die anderen Schlussfolgerungen bräuchte ich auch mal einen Denkanstoß.
Hoffe ich habe nicht zu viel Unsinn geschrieben und Danke für Antworten schon mal.
Grüße
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Ex_Senior
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-07
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Hallo,
im Teil 1 ist eine Fehler in der Aufgabenstellung. Es sollte $|f(w)|\leq 1/r$ heißen.
Aus $\displaystyle f(z)=z^kh(z)$ mit $h(0)\neq 0$ folgt, dass $g:=z^{k-1}h$ die gewünschte Funktion g liefert. $g(0)\neq 0$ wird hier nicht benötigt. Das Maximumsprinzip wird dann auf der Kreisscheibe B(0,r) angewendet. Außerdem ist die Abschätzung $\frac{1}{\abs{z}}<\frac{1}{r}$ falsch (hier gilt $\abs{z}\leq r$.
Aus mit $|f(w)|\leq 1/r$ mußt Du dann auch noch $|f(w)|\leq |z|$ folgern.
Teil 2 ist ok.
In Teil 3 schaust Du Dir $g=f/z$ an, wobei $z=0$ noch extra betrachtet werden muß.
Teil 4 a->b. Die Ableitung von $f^{-1}(f(z))=z$ an der Stelle z=0 ist schon richtig. Wie weit bist Du dort gekommen?
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Neodym342
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 145
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-08
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Hallo,
das wäre ja ein Skandal wenn da ein Fehler in der Klausuraufgabe wäre :-D Bei 1. stehe ich trotzdem irgendwie auf dem Schlauch. Ich kann zeigen, dass $g$ und $f$ ihr Maximum auf dem Rand annehmen müssen.
$\displaystyle \abs{f(w)}\leq f(r) = r g(r) $ :-?
3.
Also da bin ich mir immer noch nicht ganz im Klaren.
$\displaystyle g=\frac{f}{z}$ dann ist $g(0)$ ja undefiniert. Im Grenzwert geht $g(0) \rightarrow 1$. Aber ich verstehe nicht ganz was ich genau wie zeigen soll.
zu 4.
$\displaystyl (f^{-1}(f(z)))'=z'=1$ aber es gilt auch $\displaystyle (f^{-1}(f(0)))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(f(0)))}=\frac{1}{f'(0)}$ damit muss $f'(0)=1$ sein, damit $f^{-1}$ existiert.
Die anderen Teilaufgaben schaue ich mir auch gleich mal an.
Grüße
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-08
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Ich muß mich korrigieren:
$|g(w)|<1/r$
ist schon das, was gezeigt werden soll (habe r und 1/r verwechselt). Um dieses zu zeigen schaut man sich g = f/z auf dem Rand $\partial B(0,r)$ an und verwendet das Maximumsprinzip für das Innere.
zu 3)
g ist holomorph und insbesondere stetig, d.h. aus $|g(z)| <1$ in einer punktierten Umgebung von 0 folgt dann $|g(0)|\leq 1$.
zu 4)
$f^{-1}$ erfüllt dieselben Bedingungen wie f, d.h. es gilt dann auch $|(f^{-1})'(0)|\leq 1$.
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Neodym342
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-11
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Hallo,
nochmal mein Versuch diesmal:
1.
$f$ nimmt Maximum auf Rand an, da sonst $h(z)=0$ und das ist ein Widerspruch. Wenn $g$ konstant ist, dann ist $f=0$ (Widerspruch) oder $f=z$. Wenn $f=z$ dann ist $g(z)=1<\frac{1}{r}$. Angenommen g ist nicht konstannt, dann nimmt $g$ Max. auf Rand an. $1>|f(r)|>|f(z)|$ und $|f(r)|=r|g| \Rightarrow |g|<\frac{1}{r}$. Ist das korrekt?
Nun mit $r=1$ folgt $|f(z)|=|zg(z)|\leq |z||g(z)|\leq |z|$
3.
Da muss ich jetzt aber noch $g$ im Inneren betrachten (also bei $\neq0$), oder ?
Grüße
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Ex_Senior
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-11
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Zunächst zum Maximumsprinzip. Für ein beschränktes Gebiet und eine Funktion f:$\overline{G}\to \IC$, die auf $\overline{G}$ stetig und auf G holomorph ist, gilt, dass $|f|$ ihr Maximum auf dem Rand annimmt. Falls $|f|$ das Maximum auf G annimmt, ist f konstant.
In der Aufgabe benötigst Du keinen Widerspruch.
\quoteon $f$ nimmt Maximum auf Rand an, da sonst $h(z)=0$ und das ist ein Widerspruch. Wenn $g$ konstant ist, dann ist $f=0$ (Widerspruch) oder $f=z$.
\quoteoff
Mir ist auch nicht klar was nun h(z) ist und was jetzt der Widerspruch ist, den Du erzeugt hast.
\quoteon Wenn $f=z$ dann ist $g(z)=1<\frac{1}{r}$.
\quoteoff
f(z)=z muß nicht gesondert betrachtet werden.
\quoteon Angenommen g ist nicht konstannt, dann nimmt $g$ Max. auf Rand an. $1>|f(r)|>|f(z)|$ und $|f(r)|=r|g| \Rightarrow |g|<\frac{1}{r}$.
\quoteoff
Wahrscheinlich meinst Du nun $g|_{\overline B(0,r)},f|_{\overline B(0,r)}$, bzw. $g|_{\partial B(0,r)},f|_{\partial B(0,r)}$. $|f(r)|$ ist so auch nicht richtig. Es gibt ein $z_0$ mit $|z_0|=r$ ...
\quoteon Nun mit $r=1$ folgt $|f(z)|=|zg(z)|\leq |z||g(z)|\leq |z|$
\quoteoff
Für r=1 ist das ganze nicht definiert. Hier benötigt man $\lim_{r\to 1}\ldots$
\quoteon 3. Da muss ich jetzt aber noch $g$ im Inneren betrachten (also bei $\neq0$), oder ?
\quoteoff
Ja. $g(z)=f(z)/z$ ist für $z\neq 0$ auch unproblematisch.
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Neodym342
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-12
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Naja gut... Wie wäre denn der Beweis richtig?
Zu 3. reicht es da wenn ich $\lim_{z\rightarrow 1} g(z)$ betrachte und sage, dass es in $\overline{B(0,1)}$ liegt und dann Maximumsprinzip benutze?
4. habe ich jetzt soweit denke ich hinbekommen.
Grüße
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Ex_Senior
| Beitrag No.7, eingetragen 2017-09-12
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Existenz von g. Aus f holomorph auf B(0,1), f(0)=0 folgt, dass f auf B(0,1) durch eine Potenzreihe in 0 dargestellt werden kann und der 0-te Koeffizient verschwindet, $f(z)=\sum_{n\geq 1} a_n z^n$. g ist durch $\sum_{n\geq 0} a_{n+1} z^n$ gegeben und erfüllt dann $f(z)=z\cdot g(z)$.
z.z.: $\forall r\in(0,1),w\in\overline{B(0,r)}:|g(w)|<1/r$
Aus dem Maximumsprinzip folgt: $\exists w_0\in\partial B(0,r) : |g(w)|\leq |g(w_0)| \forall w\in\overline{B(0,r)}$
$|g(w_0)| = |f(w_0)|/|w_0| < 1/r$, wegen $|f(w_0)| < 1$ und $|w_0|=r$. Insgesamt $|g(w)|<1/r$.
Für ein festes $z\in B(0,1)$ gilt nun $|g(z)|<1/r$ für alle $r\in(|z|,1)$. Der Übergang zum Infimum ergibt dann
$|g(z)|\leq \inf\{1/r; r\in(|z|,1)\}=1$
Damit erhält man $|f(z)|=|z|\cdot|g(z)|\leq |z|$.
Bemerkung. Den Schritt mit dem Infimum muß gemacht werden, da f(z) für |z|=1 nicht definiert ist.
\quoteon Zu 3. reicht es da wenn ich $\lim_{z\rightarrow 1} g(z)$ betrachte und sage, dass es in $\overline{B(0,1)}$ liegt und dann Maximumsprinzip benutze?
\quoteoff
Hier verstehe ich nicht, was Du machen möchtest.
Meine Lösung wäre. Für $0<|z|<1$ gilt $|g(z)| = |f(z)|/|z| \leq 1$ wegen Teil 1 der Aufgabe. Daraus folgt $g(B(0,1)\backslash\{0\})\subset \overline{B(0,1)}$. Da 0 im Abschluß von $B(0,1)\backslash\{0\}$ liegt, gilt wegen der Stetigkeit von g auch $g(0)\in \overline{B(0,1)}$
\quoteon 4. habe ich jetzt soweit denke ich hinbekommen
\quoteoff
Das würde ich gerne sehen. Auch mit dem Risiko, dass ich dieses zerlege wie Deine Lösung zu 1). Sorry, das war in #5 etwas harsch, aber immer noch besser hier als währende der Klausurkorretur.
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Neodym342
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-12
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Danke für deine ausführliche Antwort.
Das Zerreißen meiner Aufgabe ist nicht so schlimm, wie das Gefühl ewig an der Aufgabe gesessen zu haben ohne etwas geschafft zu haben :-P .
Zu 4.
b => d:
$|f'(0)|=|g(0)|=1 \Rightarrow \exists a\in \partial B: g(0)=a $ mit $|a|=1$. Nach dem Maximumsprinzip muss $g$ also konstant sein $\Rightarrow g(z)=a \Rightarrow f(z)=az$
c=> d:
$|f(w)|=|w| \Leftrightarrow |g(w)|=1$. Daraus folgt wieder, dass $g$ konstant ist. $\Rightarrow g(z)=a \Leftrightarrow f(z)=az$ mit $a \in \partial B$.
Hoffe, dass das nicht zu falsch ist.
Andere Frage: Gibt es irgendwo ähnliche Aufgaben mit Lösungen (bzw. Hinweisen)?
Grüße
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Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2017-09-12
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\quoteon ...ewig an der Aufgabe gesessen zu haben ohne etwas geschafft zu haben.
\quoteoff
Das stand schon in der Jobbeschreibung :)
Kurz und schmerzlos: Alles richtig.$a \in \partial B(0,1)$ und |a|=1 ist dasselbe. Warum bist Du dann fertig?
Eine Aufgabensammlung kenne ich jetzt nicht. Wenn Du nach Staatsexamen und Funktionentheorie suchst, solltest Du einiges finden - mindestens die gestellten Aufgaben der vergangenen Jahre.
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Neodym342
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.10.2015
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-12
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Hallo,
a=>b hatte ich ja schon oben gezeigt und sind nicht alle Schlussfolgerungen beidseitig? Also a<=>b<=>d<=>c?
Grüße
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Ex_Senior
| Beitrag No.11, eingetragen 2017-09-12
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Bis jetzt hast Du die Hinweise abgearbeitet, d.h. a=>b=>d und c=>d.
\quoteon Also a<=>b<=>d<=>c?
\quoteoff
Noch nicht ganz. Was fehlt?
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Neodym342
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.10.2015
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-13
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Ich muss noch d=>c zeigen und dann d=>a bzw c=>a? d=>c geht ja einfach umgekehrt. Und d=>a würde ich einfach über d=>b=>a und dann ist der Kreis geschlossen, oder gibts da noch einen Haken?
Grüße
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Ex_Senior
| Beitrag No.13, eingetragen 2017-09-13
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Kein Haken. d=>a,b,c ist trivial. Wenn Du es nicht erwähnst, verschenkst nur Du leicht verdiente Punkte.
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Neodym342
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Mitteilungen: 145
|  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-13
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Das stimmt wohl. Dann danke ich dir nochmal für deine Hilfe und hoffentlich komme ich dann durch die Klausur :-)
Grüße
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Neodym342 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neodym342 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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