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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Garbenquotient induziert Garbe
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Universität/Hochschule Garbenquotient induziert Garbe
KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-20


Hallo,

hätte da eine Frage zur Konstruktion der Prägarbe, welche durch Garbifizierung die Garbe <math> \mathcal{K}_X ^* / \mathcal{O}_X ^* </math> liefert, die zur Definition der Cartier-Divisoren verwendet wird.

Definitionsgemäß sei Quotientengarbe zu <math> \mathcal{O}_X ^* \subset \mathcal{K}_X ^* </math> wie folgt definiert: jedes offene <math>U \subset X</math> wird auf eine Quotientenstruktur per <math> U \to \mathcal{K}_X ^*(U) / \mathcal{O}_X ^*(U)</math> abgebildet.

Meine Fragen:
Zunächst wieso gilt <math>\mathcal{O}_X ^* \subset \mathcal{K}_X ^*</math> ? (daher <math>\mathcal{O}_X ^*(U) \subset \mathcal{K}_X ^*(U)</math> für jedes U)?

Und zweitens:
Um was für eine Quotientenstruktur handelt es sich bei <math>\mathcal{K}_X ^*(U) / \mathcal{O}_X ^*(U)</math>? Quotient von abelschen Gruppen (im Sinne der Einheitengruppen)?

Hier alle verwendeten Notationen (Liu, "Algebraic Geometry", S. 258):






Gruß
Karl



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-20


2017-09-20 18:08 - KarlRuprecht im Themenstart schreibt:
Definitionsgemäß sei Quotientengarbe zu <math> \mathcal{O}_X ^* \subset \mathcal{K}_X ^* </math> wie folgt definiert: jedes offene <math>U \subset X</math> wird auf eine Quotientenstruktur per <math> U \to \mathcal{K}_X ^*(U) / \mathcal{O}_X ^*(U)</math> abgebildet.
 
Das ist nur eine Prägarbe. (Ich gehe davon aus, dass das nur ein Tippfehler ist.)

Meine Fragen:
Zunächst wieso gilt <math>\mathcal{O}_X ^* \subset \mathcal{K}_X ^*</math> ? (daher <math>\mathcal{O}_X ^*(U) \subset \mathcal{K}_X ^*(U)</math> für jedes U)?
 
Es reicht zu zeigen, dass der natürliche Homomorphismus (von Garben von Ringen bzw. Algebren) <math>\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}_X</math> ein Monomorphismus ist, denn dann induziert er einen Monomorphismus von Garben von Gruppen <math>\mathcal{O}_X^* \to \mathcal{K}_X^*</math>. Dafür reicht es, zu zeigen, dass <math>\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}"_X</math> ein Monomorphismus von Prägarben ist (klar warum?).

Sei also <math>s \in \mathcal{O}_X(U)</math> ein Schnitt, der im Kern liegt, d.h., es gilt <math>\frac{s}{1}=0</math> in <math>\mathcal{R}_X(U)^{-1} \, \mathcal{O}_X(U)</math>. Das bedeutet per Konstruktion der Lokalisierung, dass es einen Schnitt <math>t \in \mathcal{R}_X(U)</math> gibt mit <math>t \cdot s = 0</math>. Für alle <math>x \in U</math> ist <math>t_x \cdot s_x = 0</math>, aber <math>t_x</math> ist nach Definition von <math>\mathcal{R}_X</math> ein Nichtnullteiler. Also folgt <math>s_x=0</math>. Weil <math>x \in U</math> beliebig war, folgt <math>s=0</math>.

(Diese Argumentation mit den Halmen kann man umgehen, indem man die Definition benutzt, dass <math>\mathcal{R}_X(U)</math> die Menge der regulären Elemente von <math>\mathcal{O}_X(U)</math> im Sinne von Garben sei, also der Schnitte <math>s \in \mathcal{O}_X(U)</math>, für die die Multiplikation <math>s : \mathcal{O}_X|_U \to \mathcal{O}_X|_U</math> ein Monomorphismus ist. Aus <math>t \cdot s = 0</math> folgt hiermit sofort <math>t=0</math>. Generell kann man oftmals Halme vermeiden, was tatsächlich bei gewissen Verallgemeinerungen von Schemata eine wichtige Rolle spielt.)

Und zweitens:
Um was für eine Quotientenstruktur handelt es sich bei <math>\mathcal{K}_X ^*(U) / \mathcal{O}_X ^*(U)</math>? Quotient von abelschen Gruppen (im Sinne der Einheitengruppen)?
 
So ist es.



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


Hi,

2017-09-20 18:23 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:

Dafür reicht es, zu zeigen, dass <math>\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}"_X</math> ein Monomorphismus von Prägarben ist (klar warum?).


Weil <math>\mathcal{K}"_X \to \mathcal{K}_X</math> mono ist? Bei Garbifizierungen andern sich ja die Halme nicht, somit ist die induziete Abb. auf Halmen injektiv. Allerdings weiß ich nicht ganz wie ich dieses Argument auf lokale Schnitte der betrachteten Quotienten-Prägarbe zurückziehen könnte (gibts ja kein Garbenaxiom).



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-20


Um die Quotienten geht es an dieser Stelle noch gar nicht. Beachte diese also nicht.

Achtung: <math>\mathcal{K}"_X \to \mathcal{K}_X</math> mag zwar auf den Halmen injektiv sein, aber weil <math>\mathcal{K}"_X</math> i.A. keine Garbe ist, heißt das nicht, dass es sich um einen Monomorphismus handelt.

Allerdings gilt tatsächlich, dass es sich um einen Monomorphismus "aus Sicht der Garben" handelt, d.h. wenn man die Testobjekte auf Garben einschränkt.
 
Aber man kann das auch konkreter sehen: Wir haben einen Schnitt in <math>\mathcal{O}_X</math> und dessen Bild in <math>\mathcal{K}"_X</math>. Dessen Bild in <math>\mathcal{K}_X</math> verschwindet. Das bedeutet (per Konstruktion / via Halme), dass der Schnitt in <math>\mathcal{K}"_X</math> lokal verschwindet. Und das bedeutet wiederum, dass der Schnitt in <math>\mathcal{O}_X</math> lokal im Kern von <math>\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}"_X</math> liegt. Weil ein Schnitt in <math>\mathcal{O}_X</math> genau dann <math>0</math> ist, wenn er es lokal ist, reicht es daher, <math>\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}"_X</math> zu betrachten.



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


Verstehe, danke. Mit "aus Sicht der Garben" meinst du also sozusagen Mono im kategoriellen Sinne (wenn beim "vogeschalteten" Morphismus <math>T \to \mathcal{K}"_X</math>  sich bei T um Garbe handelt). Fällt dir spontan ein Beispiel ein, wo der GArbifizierungsmorphismus in der Prägarbenkategorie nicht mono ist?



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Triceratops
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Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Betrachte die konstante Prägarbe <math>F</math>, definiert durch <math>F(U):=\mathds{Z}</math>. Die assoziierte Garbe ist die Garbe <math>F^\#</math> der lokalkonstanten Funktionen nach <math>\mathds{Z}</math>. Es gilt <math>F(\emptyset)=\mathds{Z}</math>, aber <math>F^\#(\emptyset)=\{*\}</math>.



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-21


...die Menge der Funktionen mit leerem Definitionsbereich besteht aus einem einzigen Punnkt. Offenbar, findet diese mengentheoretische Spielerei gleichwohl praktische Verwendung. Super, vielen Dank.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Das ist zunächst einmal konsistent mit der Formel <math>n^0 = 1</math> (denn <math>n^m</math> ist die Zahl der Abbildungen von einer <math>m</math>-elementigen Menge in eine <math>n</math>-elementige Menge), aber dass für eine Garbe <math>F</math> von Gruppen (bzw. in einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math>) stets <math>F(\emptyset)</math> die triviale Gruppe (bzw. das terminale Objekt von <math>\mathcal{C}</math>) ist, ist wohl keine "mengentheoretische Spielerei", sondern eine Folgerung aus dem Garbenaxiom bezüglich der leeren Überdeckung von <math>\emptyset</math> (die also keine offene Menge enthält).



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