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  maximalen Balkenlänge für erlaubte Biegung |
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steffen4404
Neu 
Dabei seit: 22.09.2017
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2017-09-22
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Hallo,
ich habe einen beideseitig eingespannten Balken für den ich die maximale Länge berechnen soll wenn sich dieser um maximal 1 mm durchbiegen darf.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/48669_biegung.png
Wenn ich jedoch die Formel (siehe bild verwende) müsste ich für die Durchbiegung w(x) ja eine einheitenlose Größe verwenden, da sich ja q0/E und l^4/Iyy von den Einheiten gegenseitig aufheben. Habe ich da einen Fehler gemacht?
Ps: nicht verwirren lassen, die breite des "Balkens" entspricht der Länge, da es sich um eine Quadratische Fläche handelt, wenn man von oben drauf schauen würde. (für Iyy)
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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-22
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Hallo Steffen4404,
Herzlich willkommen auf dem Matheplaneten.
Die Einheit von q0 ist N/mm, es ist keine Spannung und hat nicht die gleiche Einheit wie E.
Ciao,
Thomas
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steffen4404
Neu
Dabei seit: 22.09.2017
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-22
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heißt das, ich muss den Druck auf dem Balken (in dem Fall ein unterdruck von 900 mbar) noch mit der Länge l multiplizieren um das p0 heraus zu bekommen, was ich in die Formeln eingeben muss?
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
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| Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-22
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Hallo Steffen4404,
im Normalfall ist $q$ eine Kraft pro Länge. Wenn Du einen Druck $p$ gegeben hast und der Balken von oben betrachtet die Länge $l$ und die Breite $b$ hat, ist die Kraft natürlich $F=pbl$, und $q$ als die Kraft pro Länge ist dann $q=\frac Fl=pb$. Wenn in diesem Fall $b=l$ ist, dann musst Du tatsächlich $q=pl$ setzen. Damit hast Du also recht.
Wenn Du nicht mit Zahlen, sondern mit Variablen bis zum Schluss rechnen würdest, würde Dir auffallen, dass in Deiner Gleichung das $b$ rausfällt, weil es sowohl in $q$ als auch in $I_{yy}$ eingeht und sich dadurch aufhebt. Die Breite $b$ spielt also gar keine Rolle, wenn überall auf dem Balken ein konstanter Druck herrscht.
Ich möchte aber noch darauf hinweisen, dass die Balkenbiegung strenggenommen nur für schmale Balken gilt. Wenn der Balken wir hier so breit ist, dass er eigentlich eine Platte ist, dann gilt die Balkenbiegungstheorie nicht mehr. Bei der Plattenbiegung ist die Durchbiegung insgesamt geringer, weil es zu einer Behinderung der Querkontraktion kommt. Die Durchbiegung wird in einem so einfachen Fall um den Faktor $1-\nu^2$ reduziert. Dadurch könnte die Länge sogar noch ein wenig größer werden als nach Balkenbiegungsformel berechnet.
Ciao,
Thomas
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steffen4404
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Dabei seit: 22.09.2017
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-22
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vielen dank.
die berechnung dient nur zur groben bestimmung der Abstände und ist im vorfeld schon stark vereinfacht. daher passt das schon über die balkenbiegung,macht das ganze system ja dadurch nur sicherer ;)
theoretisch handelt es sich um eine quadratische platte die an allen seiten fest eingespannt ist. jedoch hab ich keine ahnung wie man das berechnet, daher soll ich vereinfacht einen balken annehmen.
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-23
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Hallo Steffen4404,
ja, die Plattenbiegung ist erheblich komplizierter als die Balkenbiegung. Wenn Du Dich ein wenig einlesen willst, kannst Du das zum Beispiel hier tun:
https://www.unibw.de/baustatik/forschung/vortraege/videkhina-plattentheorie.pdf
Ein ausführlicheres Buch, das sich mit Plattenbiegung beschäftigt, ist A. Nádai: Elastische Platten, siehe hier:
ISBN 978-3-642-98358-0
Es gibt keine geschlossenen Lösung für die quadratische, allseitig eingespannte Platte, nur Näherungslösungen. Die maximale Durchbiegung für diesen Lastfall gibt Nádai an mit
$\displaystyle w=0,015312\frac{(1-\nu^2)pl^4}{Eh^3}$
(Im Buch wird der Buchstabe $a$ für eine Quadratseite verwendet, nicht $l$, und für $\nu$ wird dort 0,25 angenommen).
Nimmt man Deine Gleichung oben, dann hast Du
$\displaystyle w=\frac{pl^4}{32Eh^3}=0,03125\frac{pl^4}{Eh^3}$
Die Durchbiegung bei der allseitig eingespannten Platte ist bei $\nu=0,3$ nur etwa 45% der Durchbiegung nach der einfachen Balkenbiegungstheorie, denn beim einfachen Balken gehst Du ja davon aus, dass nur zwei Ränder eingespannt sind, und zwei Ränder frei. Wie man sieht, macht das einen ziemlich drastischen Unterschied aus. Bei gleicher maximaler Durchbiegung dürfte die Seite des Quadrats dann nämlich etwa 22% länger sein als nach der Balkenbiegungstheorie.
Ciao,
Thomas
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steffen4404 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
steffen4404 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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