Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » ganze Zahlen, Gleichungssystem
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule ganze Zahlen, Gleichungssystem
Analuest
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.06.2017
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-28


Angenommen, <math>q</math> Primpotenz, <math>g \in \mathbf{N}</math>, <math>a_i, i=1,\ldots,2g</math> sind algebraische ganze Zahlen vom Absolutbetrag <math>\sqrt{q}</math> so, dass <math>a_i \mapsto q/a_i</math> eine Bijektion ist, und ich kenne <math>N_n :=  \prod_{i=1}^{2g}(1 - a_i^n) \in \mathbf{N}</math> für <math>1 \leq n \leq g</math>. Kenne ich dann schon alle <math>a_i</math>?

Für <math>g = 1</math> stimmt es, man bekommt eine quadratische Gleichung in <math>a_1</math>, die sonst nur <math>q</math> und <math>N_1</math> enthält.

Die <math>g</math> Polynome definieren eine Untervarietät im <math>\mathbf{A}_\mathbf{Q}^g</math>, die <math>0</math>-dimensional ist, wenn sich die Gleichungen eigentlich schneiden, und diese ist vielleicht irreduzibel.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5682
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-28


Ich werde die Frage nicht beantworten können (und die Wahrscheinlichkeit, dass sonst jemand es auf dem Matheplaneten kann, tendiert gegen 0), aber ich wollte nur kurz die Rückfrage stellen, ob es sich hier eigentlich um ein Problem aus der algebraischen Geometrie handelt, bei dem <math>a_i</math> die Betti-Zahlen einer algebraischen Varietät über <math>\mathds{F}_q</math> sind? Geht es hier um Zeta-Funktionen?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Analuest
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.06.2017
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29


Genau, es geht um die Frage, ob man für eine abelsche Varietät der Dimension g über einem endlichen Körper schon die ganze Zeta-Funktion kennt, wenn man nur die Anzahlen der Punkte über g endlichen Erweiterungen des Grundkörpers kennt. Die <math>a_i</math> sind die Eigenwerte des Frobenius.

Man kann die Frage auch anders formulieren: Sei <math>V</math> ein <math>2g</math>-dimensionaler <math>\mathbf{Q}_\ell</math>-Vektorraum mit einem halbeinfachen Automorphismus <math>F</math> so, dass man <math>\det(1 - F^n)</math> für alle <math>1 \leq n \leq g</math> kennt. Kennt man dann schon die Eigenwerte <math>a_i</math> von <math>F</math>, wobei <math>a_i \mapsto q/a_i</math> eine Bijektion ist?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Analuest
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.06.2017
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29


Mal eine andere Idee: Sei <math>X/\mathbf{F}_q</math> eine glatte projektive geometrisch integre Kurve vom Geschlecht <math>g</math>. Dann ist <math>Z(X,T) = \frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}</math> mit <math>P(T) \in \mathbf{Z}[T]</math> ein Polynom vom Grad <math>2g</math> mit konstantem Term <math>1</math> und Leitkoeffizient <math>q</math>. Jetzt könnte Polynominterpolation helfen?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Analuest hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]