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| Autor |
  Maximumprinzip für beschränkte Gebiete |
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Hypatia0512
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2015
Mitteilungen: 27
 |  Themenstart: 2017-10-02
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Hallo ihr Lieben,
ich habe eine Frage zum Maximumprinzip für beschränkte Gebiete.
Die Formulierung unseres Profs war:
Sei G ein beschränktes Gebiet in \IC und f eine holomorphe Funktion auf G, dann nimmt abs(f) sein Maximum auf dem Rand von G an.
Warum das für nichtkonstante f gilt, verstehe ich. Wie man sich das jedoch für Konstante f überlegt, verstehe ich nicht. Da haben wir in der Vorlesung nämlich nur geschrieben, dass der Beweis für Konstante f trivial sei.
Vielleicht kann jemand von euch weiterhelfen...
Hypatia
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darkhelmet
Senior 
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2684
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-02
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Hi,
eine konstante Funktion nimmt ihr Maximum überall an. Wenn dir das nicht klar ist, ist dir vielleicht nicht klar, was "Maximum annehmen" bedeutet.
Abgesehen davon muss die Formulierung anders sein. Denn so wie das da steht, ist $f$ gar nicht auf dem Rand von $G$ definiert, da der Rand einer offenen Menge außerhalb der Menge liegt.
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Hypatia0512
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-02
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Hallo darkhelmet,
erst einmal vielen Dank für deine Antwort!
Ja, du hast natürlich recht: f muss holomorph auf dem Abschluss von G sein.
Was bedeutet "Maximum annehmen"?
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Hypatia0512
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2015
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-02
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Naja, dass eine konstante Funktion ihr Maximum überall "annimmt" ist mir schon klar.
Aber warum kann das nicht in G liegen?
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darkhelmet
Senior 
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2684
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-02
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\quoteon(2017-10-02 20:41 - Hypatia0512 in Beitrag No. 2)
f muss holomorph auf dem Abschluss von G sein.
\quoteoff
Auch das nicht. "Holomorph" ist nur auf offenen Mengen definiert. Aber du musst es ja nur in deinem Skript nachlesen.
\quoteon(2017-10-02 20:45 - Hypatia0512 in Beitrag No. 3)
Naja, dass eine konstante Funktion ihr Maximum überall "annimmt" ist mir schon klar.
Aber warum kann das nicht in G liegen?
\quoteoff
Das behauptet keiner. Die Funktion nimmt ihr Maximum in allen Punkten von $G$ an. Und eben auch in allen Punkten des Randes von $G$.
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Hypatia0512
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.05.2015
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-02
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Ah ja, es existiert eine stetige Fortsetzung von f auf dem Abschluss von G.
Ok, da hab ich jetzt Definitions- & Bildbereich vermischt. Die Funktion nimmt ihr Maximum für alle Punkte aus dem Abschluss von G an.
Vielen Dank für deine Hilfe, darkhelmet!
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Hypatia0512 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Hypatia0512 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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